A Graph Theory Olympiad Question Whose Answer is 1015056

Américo Tavares:

Pela blogosfera: divulgo uma questão difícil das Olimpíadas de Matemática

Originally posted on Singapore Maths Tuition:

April’s Math Olympiad Question was a particularly tough one, only four people in the world solved it! One from Japan, one from Slovakia, one from Ankara, and one from Singapore!

The question starts off seemingly simple enough:

In a party attended by 2015 guests among any 7 guests at most 12 handshakes had been
exchanged. Determine the maximal possible total number of handshakes.

However, when one starts trying out the questions, one quickly realizes the number of handshakes is very large, possibly even up to millions. This question definitely can’t be solved by trial and error!

This question is ideally modeled by a graph, and has connections to the idea of a Turán graph.

My solution presented is here: April 2015 Solution

The official solution can be accessed here: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1504a.pdf

april 2014 math olympiad

Turan 13-4.svg The Turán graph T(13,4)

To read more about Math Olympiad books, you may check out my earlier post…

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Exercício sobre o método de Ostrogradski-Hermite de primitivação de funcões racionais

Nesta questão, no MSE,  juantheron pergunta se o integral

\displaystyle\int\dfrac{5x^3+3x-1}{(x^3+3x+1)^3}\; dx

se pode calcular directamente, pelo método de substituição, em vez de admitir que a primitiva é da forma

f(x) = \dfrac{ax+b}{(x^3+3x+1)^2}

calcular f'(x) e determinar as constantes a e b, chegando a a = -1 e b = 0.

Tradução da minha resposta.

Posso estar enganado, mas parece-me que o integral dado não se pode calcular por substituição. De qualquer maneira, para integrar uma função racional  P(x)/Q(x) sem a decompor em fracções parciais e sem achar as raízes do denominador, pode-se usar o método de strogradski-Hermite, que generaliza a sua conjectura educada [de que o integral se pode escrever na forma]

\displaystyle\int\dfrac{5x^3+3x-1}{(x^3+3x+1)^3}\;dx=\dfrac{ax+b}{(x^3+3x+1)^2}+C.

Pode encontrar-se uma descrição deste método na secção 2.1 de Table of Integrals, Series, and Products, de Gradshteyn e Ryzhik, em que é apresentada a identidade (2) abaixo.  A fórmula (1) aparece também na página da Wikipedia sobre Ostrogradsky.

Suponha-se que \deg P(x)<\deg Q(x). Existem polinómios P_{1}(x), P_{2}(x), Q_{1}(x) e Q_{2}(x), com Q_{1}(x)=\gcd \left\{ Q(x), Q^{\prime }(x)\right\} e Q_{2}(x)=Q(x)/Q_{1}(x), \deg P_{1}(x) <\deg Q_{1}(x), \deg P_{2}(x) <\deg Q_{2}(x), tais que

\displaystyle\int\dfrac{P(x)}{Q(x)}\; dx=\dfrac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}+\displaystyle\int \dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}\; dx.\qquad(1)

Então

\begin{aligned}P(x)&=\dfrac{P_{1}^{\prime }(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}^{\prime }(x)}{\left\{Q_{1}(x)\right\} ^{2}}Q(x)+\dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}Q(x)\\&=P_{1}^{\prime }(x)\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}-P_{1}(x)\dfrac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}+P_{2}(x)\dfrac{Q(x)}{Q_{2}(x)}\\&=P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ \dfrac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)\right\} +P_{2}(x)Q_{1}(x)\end{aligned}

ou

P(x)=P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ T(x)-Q_{2}^{\prime }(x)\right\}+P_{2}(x)Q_{1}(x),\qquad(2)

com T(x)=Q^{\prime }(x)/Q_{1}(x), porque de

Q^{\prime }(x)=\left\{ Q_{1}(x)Q_{2}(x)\right\} ^{\prime }=Q_{1}^{\prime}(x)Q_{2}(x)+Q_{1}(x)Q_{2}^{\prime }(x)=T(x)Q_{1}(x)

obtém-se

\dfrac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)+Q_{2}^{\prime }(x)=T(x).

Para determinar os coeficientes dos polinómios P_{1}(x) e P_{2}(x) igualamos os coeficientes de iguais potências de  x.

Aplicação a

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}.

Uma vez que

\begin{aligned}Q(x)&=\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}\\  Q^{\prime }(x)&=9\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}\left( x^{2}+1\right)\\  Q_{1}(x)&=\gcd \left\{ Q(x),Q^{\prime }(x)\right\} =\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}\end{aligned}

e

Q_{2}(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}=\dfrac{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}}=x^{3}+3x+1,

escrevemos

\displaystyle\int \dfrac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}\; dx=\dfrac{P_{1}(x)}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}}+\displaystyle\int \dfrac{P_{2}(x)}{x^{3}+3x+1}\; dx,\qquad (3)

em que

\begin{aligned}P_{1}(x) &=Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F \\  P_{2}(x) &=Fx^{2}+Gx+H.\end{aligned}

A identidade (2), com

T(x)=\dfrac{Q^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}=9\left( x^{2}+1\right),

resulta em

\begin{aligned}5x^{3}+3x-1 &=\left(5Ax^{4}+4Bx^{3}+3Cx^{2}+2Dx+E\right) \left(x^{3}+3x+1\right)\\&\quad-\left( Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F\right) \left\{ 9\left(x^{2}+1\right) -\left( 3x^{2}+3\right)\right\}\\&\quad+\left( Gx^{2}+Hx+I\right) \left(x^{3}+3x+1\right)^{2}\\&=Gx^{8}+\left( -A+H\right) x^{7}+\left( -2B+6G+I\right) x^{6}\\  &\quad+\left( 6H-3C+2G+9A\right) x^{5}\\&\quad+\left( -4D+6B+9G+6I+2H+5A\right) x^{4}\\&\quad+\left( 3C-5E+4B+6G+9H+2I\right) x^{3}\\&\quad+\left( 3C-6F+G+6H+9I\right) x^{2}\\&\quad+\left( 6I+H+2D-3E\right) x+\left( E+I-6F\right).\end{aligned}

Igualando os coeficientes obtemos

A=B=C=D=F=G=H=I=0,E=-1.\qquad (4)

Assim,

\begin{aligned}P_1(x) &=-x \\P_2(x) &=0\end{aligned}

e finalmente,

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right)^{3}}\; dx=-\dfrac{x}{\left(x^{3}+3x+1\right) ^{2}}+C,\qquad (5)\end{aligned}

como determinado por si.

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Demonstração da identidade trigonométrica √2 sin 10° + √3 cos 35° = sin 55° + 2 cos 65°

Questão de Freddy, no MSE:

Prove que:

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}

Minha Resolução (tradução):

(…)

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}\qquad(1)

Eis uma variante [de resolução] que utiliza a fórmula da adição do cosseno para 65{{}^\circ}=35{{}^\circ}+30{{}^\circ}, a fórmula da subtracção do seno para 10{{}^\circ}=45{{}^\circ}-35{{}^\circ} e a fórmula das funções seno/cosseno  de ângulos complentares.

1.  Use a fórmula dos ângulos complementares \sin \theta =\cos \left( 90{{}^\circ}-\theta \right) com \theta=55{{}^\circ}, a fórmula da adição \cos \left( a+b\right) =\cos a\cos  b-\sin a\sin b, e os valores especiais \sin 30{{}^\circ}  =1/2, \cos 30{{}^\circ}=\sqrt{3}/2 para reescrever o lado direito de (1) na forma

\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(2)

2. Substitua (2) em (1) e simplifique; obtém a identidade equivalente

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(3)

3. Para mostrar que (3) é válida, use a fórmula da subtracção \sin \left(a-b\right) =\sin a\cos b-\cos a\sin b e os valores especiais \sin 45{{}^\circ}=\cos 45{{}^\circ}=\sqrt{2}/2. Dado que se obtém a identidade trivial seguinte, concluimos a demostração.

\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(4)

 

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Equação integral redutível a uma trigonométrica simples

Na questão Solving messy integral with modulus and trigonometry de eaxdpiotnyeantial , no MSE, é apresentada a seguinte equação integral na variável a

a\in \mathbb R,\displaystyle\int_{a-\pi}^{3\pi+a}|x-a-\pi|\sin(x/2)dx=-16

cuja resolução passo a traduzir.

Minha resolução: O cálculo do integral no 1.º membro da equação integral

\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert \sin \left( x/2\right)\,dx=-16\qquad (1)

pode efectuar-se, começando pela substituição sugerida por GFauxPas y=x-a-\pi num comentário, separando o integral em dois, um para -2\pi <y<0 e outro para 0\leq y<2\pi, e prosseguindo com a substituição z=\dfrac{y+a}{2} e integração por partes:

\begin{aligned}-16&=\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert\sin \left(x/2\right)\,dx\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\sin \left( \dfrac{y+a}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right) \,dy,\qquad\qquad y=x-a-\pi\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\cos\left( \dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=-\displaystyle\int_{-2\pi }^{0}y\cos\left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy+\displaystyle\int_{0}^{2\pi  }y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right)\,dy,\\&=-\left[ 2y\sin \dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{-2\pi }^{0} +\left[ 2y\sin\dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{0}^{2\pi }\qquad (\ast)\\&=-8\cos\dfrac{a}{2}+4\pi \sin\dfrac{a}{2}-8\cos\dfrac{a}{2}-4\pi \sin\dfrac{a}{2} \\&=-16\cos\dfrac{a}{2},\end{aligned}

porque

\begin{aligned}I(y)&=\displaystyle\int y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=\displaystyle\int 2\left(2z-a\right) \cos z\,dz,\qquad\qquad z=\dfrac{y+a}{2}\\&=4\displaystyle\int z\cos z\,dz-2a\displaystyle\int\cos z\,dz  \end{aligned}

e

\begin{aligned}I(y)&=4\left( z\sin z-\int\sin z\,dz\right) -2a\sin z\\  &=\left(4z-2a\right)\sin z+4\cos z\\&=2y\sin\frac{y+a}{2}+4\cos\dfrac{y+a}{2}.\qquad (\ast)\end{aligned}

Assim, (1) é equivalente à equação trigonométrica simples

\cos\dfrac{a}{2}=1,\qquad (2)

cuja solução é

a=4k\pi ,\text{ }k\in\mathbb{Z}.\qquad (3)

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Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II

Além do método indicado no post Resolução da equação do 3.º grau em (ou cúbica) para resolver a equação cúbica reduzida em t

t^{3}+pt+q=0

que consiste em exprimir a variável t na forma t=u+v, tomei recentemente conhecimento, nesta resposta de user 170039, à questão Derivation of Cubic Formula de MathNoob, no Mathematics Stack Exchange, da substituição t=y+\dfrac{k}{y}, em que a constante k=-\dfrac{p}{3}.

Através dela obtém-se a equação em y

y^{3}-\dfrac{p^{3}}{27}\dfrac{1}{y^{3}}+q=0

ou seja, para y\neq 0, a equação do 6.º grau seguinte — do 2.º grau em y^{3}

\left( y^{3}\right) ^{2}+qy^{3}-\dfrac{p^{3}}{27}=0.

O leitor poderá verificar que os dois métodos conduzem à mesma fórmula resolvente; por exemplo, escolhendo a solução y^{3}=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}, tem-se

\begin{aligned}t&=y-\dfrac{p}{3y}=\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}-\dfrac{p}{3\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}} \\&=\cdots\\  &=\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}.\end{aligned}

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Problema de um leitor — maximização do volume de um cone cuja planificação é um sector circular dado

Destaco desta forma o seguinte enunciado, na grafia brasileira, de um problema que um leitor deixou num comentário:

« Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu volume seja máximo ? »

Proposta de resolução:

Seja \alpha o ângulo do sector circular medido em radianos. O comprimento L do arco do sector circular, de raio 3\,\mathrm{m} , é igual a L=3\alpha\,\mathrm{m}. O cone construido com este sector circular tem uma base circular cujo raio r é igual r=\dfrac{L}{2\pi }=\dfrac{3\alpha }{2\pi } e cuja altura h é igual a h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}.

Sendo assim, o volume do cone é dado por

V\left( \alpha \right) =\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}\sqrt{9-\left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}}=\dfrac{9}{8}\dfrac{\alpha ^{2}}{\pi ^{2}}\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha ^{2}}.

Como a derivada

V'\left(\alpha\right)=\dfrac{9}{8\pi ^{2}}\alpha\dfrac{8\pi  ^{2}-3\alpha^{2}}{\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha^{2}}}

tem os seguintes zeros: \alpha =0,\alpha =\pm \dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi, excluindo a solução negativa, e estudando o sinal de V'\left( \alpha \right), conclui-se que o máximo V_{\text{max}} ocorre para \alpha =\dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi , a que corresponde r=\dfrac{3\alpha }{2\pi }=\sqrt{6}\, \mathrm{m} e h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}=\sqrt{3}\, \mathrm{m}. O seu valor é V_{\text{max}}=2\sqrt{3}\pi\, \mathrm{m}^3.

Actualização: 20-11-2014

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Corrida em sentidos opostos ao longo de uma circunferência

Na questão Travelling round a circle, panav2000k, colocou, no MSE, um  problema, com o seguinte enunciado (tradução):

A e B partem do mesmo ponto e percorrem, em sentidos opostos, uma circunferência de 4324\text{ }\mathrm{m}. A só arranca quando B já percorreu 716\text{ }\mathrm{m}. Cruzam-se quando A já correu 1927\text{ }\mathrm{m}. Quem chegará primeiro à partida e a que distância estarão um do outro, nessa altura?

Tradução da minha resolução:

Seja t_{1} o tempo de que B necessita para percorrer 716 \textrm{m } a uma velocidade constante v_{B}. Então 716=v_{B}t_{1}. Se t_{2} for o instante em que A e B passam um pelo outro, então

\begin{cases}4324-1927=v_{B}t_{2} \\[2ex] 1927=v_{A}\left( t_{2}-\dfrac{716}{v_{B}}\right) \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}, \end{cases}

em que v_{A} é a velocidade constante de A. Simplificando obtemos

\begin{cases}t_{2}=\dfrac{2397}{v_{B}} \\[2ex] \dfrac{v_{A}}{v_{B}}=\dfrac{1927}{1681}=\dfrac{47}{41} \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}.\end{cases}

Se t_{A} e t_{B} forem os tempos adicionais de que, respectivamente, A e B necessitam para chegar ao ponto de partida, então

\begin{cases}1927=v_{B}t_{B} \\[2ex] 2397=v_{A}t_{A}=\dfrac{47}{41}v_{B}t_{A}, \end{cases}

o que implica que \dfrac{t_{A}}{t_{B}}=\dfrac{51}{47}>1. Assim, B chegará em primeiro lugar à partida. Quando B atinge esse ponto, A ainda necessita de percorrer

\begin{aligned}2397-v_{A}t_{B} &=2397-v_{A}\frac{1927}{v_{B}}=2397-\frac{47}{41}1927 \\&=2397-2209=188\text{ }\mathrm{m}.\end{aligned}

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Radicais imbricados

Apresento de seguida duas questões envolvendo radicais imbricados, recentemente publicadas no MSE, bem como as minhas respostas.

  1. Math Algebra Question with Square Roots , de snivysteel
  2. Simplifying \sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}, de user2612743

Questão 1.

‘Para  a\ge \dfrac{1}{8}, definimos

g(a)=\sqrt[\Large3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[\Large3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}

Determinar o valor máximo de g(a).’

Deparei-me com esta questão em uma competição das Olimpíadas de Matemática (…)

Resolução

Em geral não podemos converter uma raíz cúbica imbricada numa forma simples. Porém, ambos os radicais em g(a) têm uma forma especial que pode ser simplificada, porque podemos determinar duas potências cúbicas X^3,Y^3 tais que X, Y são irracionais quadráticos conjugados e

a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}=X^{3},\qquad a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}=Y^{3}

Se escrevermos x=\dfrac{8a-1}{3}\geq 0, então a=\dfrac{3x+1}{8} e \dfrac{a+1}{3}=\dfrac{x+3}{8}. Em consequência, o primeiro radicando converte-se em

\begin{aligned}a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}&=\dfrac{3x+1+\left( x+3\right)\sqrt{x}}{8}=\dfrac{1+3\sqrt{x}+3x+\left( \sqrt{x}\right)^{3}}{8}\\&=\dfrac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{3}}{2^{3}}=X^{3},\qquad X=\dfrac{1+\sqrt{x}}{2}=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {8a-1}{3}},\end{aligned}

em que usámos o teorema binomial no caso da potência ser cúbica

\left( 1+c\right) ^{3}=1+3c+3c^{2}+c^{3},

com c=\sqrt{x}:

\begin{aligned}\left(1+\sqrt{x}\right)^{3}&=\left(1+x^{1/2}\right)  ^{3}=1+3x^{1/2}+3x+x^{3/2}\\&=1+3\sqrt{x}+3x+\left(\sqrt{x}\right)^{3}.  \end{aligned}

De forma semelhante, aplicando o teorema binomial a (1-c)^3=(1-\sqrt{x})^3, o segundo radical transforma-se em

\begin{aligned}a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}&=\dfrac{3x+1-\left( x+3\right) \sqrt{x}}{8}=\dfrac{ 1-3\sqrt{x}+3x-\left( \sqrt{x}\right)^{3}}{2^{3}}\\&=\dfrac{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{3}}{2^{3}}=Y^{3},\qquad Y=\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2}=\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {8a-1}{3}}.  \end{aligned}

Agora determinamos facilmente que para a\geq 1/8 a função g(a) é constante

g(a)=\sqrt[3]{X^{3}}+\sqrt[3]{Y^{3}}=X+Y=\dfrac{ 1+\sqrt{x} }{2}  +\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2} =1.

Assim, \max_{a\geq 1/8}g(a)=1.

Questão 2. Simplificar

 \sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}

Resolução

Podemos aplicar duas vezes a seguinte identidade algébrica geral envolvendo radicais imbricados

\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\qquad(1)

para obter

\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}=\sqrt[4]{161-\sqrt{25\,920}}=\sqrt{5}-2.

O cálculo numérico pode efectuar-se como segue:

\begin{aligned}\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}&=\left(\sqrt{\dfrac{161+\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\left( \sqrt{\dfrac{161+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-1}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\sqrt{9-\sqrt{80}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{9^{2}-80}}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-\sqrt{9^{2}-80}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-1}{2}}\\&=\sqrt{5}-2.\end{aligned}

Nota: Se o radical fosse da forma \sqrt{a+\sqrt{b}}, a identidade aplicável seria

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}.\qquad(2)

Demonstração (De Sebastião e Silva, Silva Paulo, Compêndio de Álgebra II, 1963). Para determinar dois números racionais x,y tais que

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y},\text{ com }a,b\in \mathbb{Q},

elevamos ao quadrado os dois lados da identidade e rearranjamos os termos

2\sqrt{xy}=a-x-y+\sqrt{b}.

Elevando novamente ao quadrado, obtém-se

4xy=\left( a-x-y\right) ^{2}+2\left( a-x-y\right) \sqrt{b}+b.

Dado que x,y\in \mathbb{Q}, a-x-y=0, o que significa que x,y verificam o sistema de equações

x+y=a,\qquad xy=\dfrac{b}{4}.

Em consequência, são as raízes de

X^{2}-aX+\dfrac{b}{4}=0,

isto é

\begin{aligned}x&=X_{1}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}\\  y&=X_{2}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}.\end{aligned}

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Determinação da equação do círculo que passa por três pontos dados

Com a resposta à questão Finding an equation of circle which passes through three points de help e mais um voto na resposta já antiga à questão Vector sum in spherical coordinates, atingi, hoje, os 25000 pontos, no Mathematics Stack Exchange.

2014-06-09 MSE retoc4Na questão Finding an equation of circle which passes through three points, help pretende determinar a equação do círculo que passa nos pontos (5,10), (-5,0),(9,-6), usando a fórmula (x-q)^2 + (y-p)^2 = r^2.

Minha resolução

\left( x-q\right) ^{2}+\left( y-p\right) ^{2}=r^{2}\qquad(0)

Uma forma bastante elementar é usar esta fórmula três vezes, uma para cada ponto. Dado que o círculo passa no ponto (5,10), este verifica (0), isto é

\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}=r^{2}\qquad(1)

De forma semelhante para o segundo ponto (-5,0):

\left( -5-q\right) ^{2}+\left( 0-p\right) ^{2}=r^{2},\qquad(2)

e para (9,-6):

\left( 9-q\right) ^{2}+\left( -6-p\right) ^{2}=r^{2}.\qquad(3)

Temos pois o seguinte sistema de três equações simultâneas nas três incógnitas p,q,r:

\begin{cases}\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}=r^{2}\\\left( -5-q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2}\\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}\qquad(4)

Para o resolver, podemos começar por subtrair a segunda equação da primeira

\begin{cases}\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}-\left( 5+q\right) ^{2}-p^{2}=0\\\left( 5+q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2} \\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Desenvolvendo agora o lado esquerdo da primeira equação obtemos uma equação linear

\begin{cases}100-20q-20p=0 \\\left( 5+q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2} \\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Resolvendo a primeira equação em ordem a q e substituindo nas outras equações, obtemos

\begin{cases}q=5-p \\\left( 10-p\right) ^{2}+p^{2}-\left( 4+p\right) ^{2}-\left( 6+p\right) ^{2}=0 \\\left( 4+p\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Se simplificarmos a segunda equação, esta transforma-se numa equação linear em p apenas

\begin{cases}q=5-p\\48-40p=0\\\left( 4+p\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Reduzimos o nosso sistema quadrático (4) a duas equações lineares mais a equação de r^2. Da segunda equação achamos p=6/5, que substituimos na primeira e na terceira para determinar q=19/5 and r^2=1972/25, isto é

\begin{cases}q=5-\dfrac{6}{5}=\dfrac{19}{5}\\[2ex]  p=\dfrac{6}{5}\\[2ex]r^{2}=\left( 4+\dfrac{6}{5}\right) ^{2}+\left( 6+\dfrac{6}{5}\right) ^{2}=\dfrac{1972}{25}.\end{cases}\qquad(5)

Assim, a equação do círculo é:

\left( x-\dfrac{19}{5}\right) ^{2}+\left( y-\dfrac{6}{5}\right) ^{2}=\dfrac{1972}{25}.

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Com o post de ontem Green’s Theorem and Area of Polygons de anorton,
iniciou-se a fase beta do blog associado a Mathematics Stack Exchange.

O autor aplica o teorema de Green para deduzir a fórmula da área de um polígono simples, com n vértices, definidos pelas coordenadas ( x_{k},y_{k}), 0\leq k\leq n+1, percorrido no sentido directo, coincidindo o último com o primeiro, isto é ( x_{n+1},y_{n+1}) =(x_{0},y_{0}):

A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{( x_{k+1}+x_{k})(  y_{k+1}-y_{k}) }{2}

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