Exercício sobre séries de Fourier — uma função periódica constante por troços

Exercício:

Seja x(t) uma função periódica definida em toda a recta real, com período T=4 e cuja restrição no intervalo [-2,2[ se pode escrever da seguinte forma:

x(t)|_{[-2,2[}=\left\{\begin{array}{l}3,\qquad\text{se}\quad-2\leq t<-1,\\ 0,\qquad\text{se }\quad-1\leq t<1,\\ 1,\qquad\text{se}\qquad1\leq t<2.\end{array}\right.

Determine a série trigonométrica de Fourier de x(t).

Resolução:

Os coeficientes a_n, b_n  da série trigonométrica de Fourier de x(t)

\displaystyle{\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos \frac{n\pi t}{T/2}+b_{n}\sin \frac{n\pi t}{T/2}\right)}

são dados pelos seguintes integrais:

\begin{aligned}a_{0}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)dt\\[2ex]a_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\cos \frac{n\pi t}{T/2}dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)\cos \frac{n\pi t}{2}dt,\qquad n\geq 1 \\[2ex]b_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin \frac{n\pi t}{T/2}dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)\sin \frac{n\pi t}{2}dt,\qquad n\geq 1.\end{aligned}

Devido à forma do gráfico de x(t) (ver gráfico à azul abaixo, para t\in[-2,2[) é natural decompor cada integral em três, \left(\int_{-2}^{2}\int_{-2}^{-1}+\int_{-1}^{1}+\int_{1}^{2}\right). Chega-se a

\begin{aligned}a_{0} &=2\\[2ex]a_{n} &=\frac{4}{n\pi }\left( \sin n\pi -\sin\frac{n\pi }{2}\right) =-\frac{4}{n\pi }\sin\frac{n\pi }{2}\\[2ex]  b_{n} &=\frac{2}{n\pi }\left( \cos n\pi -\cos\frac{n\pi }{2}\right) =\frac{  2}{n\pi }\left( \left( -1\right)^{n}-\cos\frac{n\pi }{2}\right) .\end{aligned}

Assim, o desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de x(t) será:

\displaystyle{x(t)\sim 1+\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{4}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{2}\cos \frac{n\pi t}{2}+\frac{2}{n\pi }\left( \left( -1\right) ^{n}-\cos \frac{n\pi }{2}\right) \sin \frac{n\pi t}{2}\right)}.

TFSofdiscontinuousfunction

Legenda: azul: x(t)\, \text{ em } -2\le t<2;

verde: soma parcial de quinta ordem da série trigonométrica de Fourier de  x(t) em -5\le t< 5.

Potências complexas

Na questão já antiga Understanding imaginary exponents do Mathematics Stack Exchange, friedo perguntou, entre outros, qual o significado de x^i, em que x é um número real.

Tradução da minha resposta:

A exponencial complexa e^z, com z=x+iy complexo, preserva a lei dos expoentes da exponencial real e verifica a igualdade e^0=1.

Por definição,

e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+\sin y)

o que está de acordo com a função exponencial real quando y=0.

O valor principal (principal value) do logarítmo de z=x+iy é o número complexo

w=\text{Log }z=\log |z|+i\arg z

tal que e^w=z, em que \arg z (o valor principal do argumento ou argumento principal de z) é o número real que verifica a condição -\pi<\text{arg }z\le\pi, com x=|z|\cos (\arg z) e y=|z|\sin (\arg z).

A potência complexa é

z^w=e^{w\text{ Log} z}.

No seu exemplo, z=x,w=i é, portanto, x^i=e^{i \text{ Log}x}.

Se x>0, então \text{Log }x=\log x. Se x<0, então \text{Log }x=\log|x|+i\pi.

Exemplos:

(-1)^i=e^{i\text{Log }(-1)}=e^{i(i\pi)}=e^{-\pi}.

2^i=e^{i\text{Log }(2)}=e^{i\log 2}=\cos (\log 2)+i\sin (\log 2).

(-2)^i=e^{i\text{Log }(-2)}=e^{i(\log 2+i\pi)}=e^{i\log 2}e^{-\pi}=(\cos (\log 2)+i\sin (\log 2))e^{-\pi}.

A Graph Theory Olympiad Question Whose Answer is 1015056

Américo Tavares:

Pela blogosfera: divulgo uma questão difícil das Olimpíadas de Matemática

Originally posted on Singapore Maths Tuition:

April’s Math Olympiad Question was a particularly tough one, only four people in the world solved it! One from Japan, one from Slovakia, one from Ankara, and one from Singapore!

The question starts off seemingly simple enough:

In a party attended by 2015 guests among any 7 guests at most 12 handshakes had been
exchanged. Determine the maximal possible total number of handshakes.

However, when one starts trying out the questions, one quickly realizes the number of handshakes is very large, possibly even up to millions. This question definitely can’t be solved by trial and error!

This question is ideally modeled by a graph, and has connections to the idea of a Turán graph.

My solution presented is here: April 2015 Solution

The official solution can be accessed here: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1504a.pdf

april 2014 math olympiad

Turan 13-4.svg The Turán graph T(13,4)

To read more about Math Olympiad books, you may check out my earlier post…

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Exercício sobre o método de Ostrogradski-Hermite de primitivação de funcões racionais

Nesta questão, no MSE,  juantheron pergunta se o integral

\displaystyle\int\dfrac{5x^3+3x-1}{(x^3+3x+1)^3}\; dx

se pode calcular directamente, pelo método de substituição, em vez de admitir que a primitiva é da forma

f(x) = \dfrac{ax+b}{(x^3+3x+1)^2}

calcular f'(x) e determinar as constantes a e b, chegando a a = -1 e b = 0.

Tradução da minha resposta.

Posso estar enganado, mas parece-me que o integral dado não se pode calcular por substituição. De qualquer maneira, para integrar uma função racional  P(x)/Q(x) sem a decompor em fracções parciais e sem achar as raízes do denominador, pode-se usar o método de strogradski-Hermite, que generaliza a sua conjectura educada [de que o integral se pode escrever na forma]

\displaystyle\int\dfrac{5x^3+3x-1}{(x^3+3x+1)^3}\;dx=\dfrac{ax+b}{(x^3+3x+1)^2}+C.

Pode encontrar-se uma descrição deste método na secção 2.1 de Table of Integrals, Series, and Products, de Gradshteyn e Ryzhik, em que é apresentada a identidade (2) abaixo.  A fórmula (1) aparece também na página da Wikipedia sobre Ostrogradsky.

Suponha-se que \deg P(x)<\deg Q(x). Existem polinómios P_{1}(x), P_{2}(x), Q_{1}(x) e Q_{2}(x), com Q_{1}(x)=\gcd \left\{ Q(x), Q^{\prime }(x)\right\} e Q_{2}(x)=Q(x)/Q_{1}(x), \deg P_{1}(x) <\deg Q_{1}(x), \deg P_{2}(x) <\deg Q_{2}(x), tais que

\displaystyle\int\dfrac{P(x)}{Q(x)}\; dx=\dfrac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}+\displaystyle\int \dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}\; dx.\qquad(1)

Então

\begin{aligned}P(x)&=\dfrac{P_{1}^{\prime }(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}^{\prime }(x)}{\left\{Q_{1}(x)\right\} ^{2}}Q(x)+\dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}Q(x)\\&=P_{1}^{\prime }(x)\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}-P_{1}(x)\dfrac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}+P_{2}(x)\dfrac{Q(x)}{Q_{2}(x)}\\&=P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ \dfrac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)\right\} +P_{2}(x)Q_{1}(x)\end{aligned}

ou

P(x)=P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ T(x)-Q_{2}^{\prime }(x)\right\}+P_{2}(x)Q_{1}(x),\qquad(2)

com T(x)=Q^{\prime }(x)/Q_{1}(x), porque de

Q^{\prime }(x)=\left\{ Q_{1}(x)Q_{2}(x)\right\} ^{\prime }=Q_{1}^{\prime}(x)Q_{2}(x)+Q_{1}(x)Q_{2}^{\prime }(x)=T(x)Q_{1}(x)

obtém-se

\dfrac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)+Q_{2}^{\prime }(x)=T(x).

Para determinar os coeficientes dos polinómios P_{1}(x) e P_{2}(x) igualamos os coeficientes de iguais potências de  x.

Aplicação a

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}.

Uma vez que

\begin{aligned}Q(x)&=\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}\\  Q^{\prime }(x)&=9\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}\left( x^{2}+1\right)\\  Q_{1}(x)&=\gcd \left\{ Q(x),Q^{\prime }(x)\right\} =\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}\end{aligned}

e

Q_{2}(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}=\dfrac{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}}=x^{3}+3x+1,

escrevemos

\displaystyle\int \dfrac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}\; dx=\dfrac{P_{1}(x)}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}}+\displaystyle\int \dfrac{P_{2}(x)}{x^{3}+3x+1}\; dx,\qquad (3)

em que

\begin{aligned}P_{1}(x) &=Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F \\  P_{2}(x) &=Fx^{2}+Gx+H.\end{aligned}

A identidade (2), com

T(x)=\dfrac{Q^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}=9\left( x^{2}+1\right),

resulta em

\begin{aligned}5x^{3}+3x-1 &=\left(5Ax^{4}+4Bx^{3}+3Cx^{2}+2Dx+E\right) \left(x^{3}+3x+1\right)\\&\quad-\left( Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F\right) \left\{ 9\left(x^{2}+1\right) -\left( 3x^{2}+3\right)\right\}\\&\quad+\left( Gx^{2}+Hx+I\right) \left(x^{3}+3x+1\right)^{2}\\&=Gx^{8}+\left( -A+H\right) x^{7}+\left( -2B+6G+I\right) x^{6}\\  &\quad+\left( 6H-3C+2G+9A\right) x^{5}\\&\quad+\left( -4D+6B+9G+6I+2H+5A\right) x^{4}\\&\quad+\left( 3C-5E+4B+6G+9H+2I\right) x^{3}\\&\quad+\left( 3C-6F+G+6H+9I\right) x^{2}\\&\quad+\left( 6I+H+2D-3E\right) x+\left( E+I-6F\right).\end{aligned}

Igualando os coeficientes obtemos

A=B=C=D=F=G=H=I=0,E=-1.\qquad (4)

Assim,

\begin{aligned}P_1(x) &=-x \\P_2(x) &=0\end{aligned}

e finalmente,

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right)^{3}}\; dx=-\dfrac{x}{\left(x^{3}+3x+1\right) ^{2}}+C,\qquad (5)\end{aligned}

como determinado por si.

Demonstração da identidade trigonométrica √2 sin 10° + √3 cos 35° = sin 55° + 2 cos 65°

Questão de Freddy, no MSE:

Prove que:

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}

Minha Resolução (tradução):

(…)

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}\qquad(1)

Eis uma variante [de resolução] que utiliza a fórmula da adição do cosseno para 65{{}^\circ}=35{{}^\circ}+30{{}^\circ}, a fórmula da subtracção do seno para 10{{}^\circ}=45{{}^\circ}-35{{}^\circ} e a fórmula das funções seno/cosseno  de ângulos complentares.

1.  Use a fórmula dos ângulos complementares \sin \theta =\cos \left( 90{{}^\circ}-\theta \right) com \theta=55{{}^\circ}, a fórmula da adição \cos \left( a+b\right) =\cos a\cos  b-\sin a\sin b, e os valores especiais \sin 30{{}^\circ}  =1/2, \cos 30{{}^\circ}=\sqrt{3}/2 para reescrever o lado direito de (1) na forma

\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(2)

2. Substitua (2) em (1) e simplifique; obtém a identidade equivalente

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(3)

3. Para mostrar que (3) é válida, use a fórmula da subtracção \sin \left(a-b\right) =\sin a\cos b-\cos a\sin b e os valores especiais \sin 45{{}^\circ}=\cos 45{{}^\circ}=\sqrt{2}/2. Dado que se obtém a identidade trivial seguinte, concluimos a demonstração.

\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(4)

Equação integral redutível a uma trigonométrica simples

Na questão Solving messy integral with modulus and trigonometry de eaxdpiotnyeantial , no MSE, é apresentada a seguinte equação integral na variável a

a\in \mathbb R,\displaystyle\int_{a-\pi}^{3\pi+a}|x-a-\pi|\sin(x/2)dx=-16

cuja resolução passo a traduzir.

Minha resolução: O cálculo do integral no 1.º membro da equação integral

\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert \sin \left( x/2\right)\,dx=-16\qquad (1)

pode efectuar-se, começando pela substituição sugerida por GFauxPas y=x-a-\pi num comentário, separando o integral em dois, um para -2\pi <y<0 e outro para 0\leq y<2\pi, e prosseguindo com a substituição z=\dfrac{y+a}{2} e integração por partes:

\begin{aligned}-16&=\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert\sin \left(x/2\right)\,dx\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\sin \left( \dfrac{y+a}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right) \,dy,\qquad\qquad y=x-a-\pi\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\cos\left( \dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=-\displaystyle\int_{-2\pi }^{0}y\cos\left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy+\displaystyle\int_{0}^{2\pi  }y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right)\,dy,\\&=-\left[ 2y\sin \dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{-2\pi }^{0} +\left[ 2y\sin\dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{0}^{2\pi }\qquad (\ast)\\&=-8\cos\dfrac{a}{2}+4\pi \sin\dfrac{a}{2}-8\cos\dfrac{a}{2}-4\pi \sin\dfrac{a}{2} \\&=-16\cos\dfrac{a}{2},\end{aligned}

porque

\begin{aligned}I(y)&=\displaystyle\int y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=\displaystyle\int 2\left(2z-a\right) \cos z\,dz,\qquad\qquad z=\dfrac{y+a}{2}\\&=4\displaystyle\int z\cos z\,dz-2a\displaystyle\int\cos z\,dz  \end{aligned}

e

\begin{aligned}I(y)&=4\left( z\sin z-\int\sin z\,dz\right) -2a\sin z\\  &=\left(4z-2a\right)\sin z+4\cos z\\&=2y\sin\frac{y+a}{2}+4\cos\dfrac{y+a}{2}.\qquad (\ast)\end{aligned}

Assim, (1) é equivalente à equação trigonométrica simples

\cos\dfrac{a}{2}=1,\qquad (2)

cuja solução é

a=4k\pi ,\text{ }k\in\mathbb{Z}.\qquad (3)

Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II

Além do método indicado no post Resolução da equação do 3.º grau em (ou cúbica) para resolver a equação cúbica reduzida em t

t^{3}+pt+q=0

que consiste em exprimir a variável t na forma t=u+v, tomei recentemente conhecimento, nesta resposta de user 170039, à questão Derivation of Cubic Formula de MathNoob, no Mathematics Stack Exchange, da substituição t=y+\dfrac{k}{y}, em que a constante k=-\dfrac{p}{3}.

Através dela obtém-se a equação em y

y^{3}-\dfrac{p^{3}}{27}\dfrac{1}{y^{3}}+q=0

ou seja, para y\neq 0, a equação do 6.º grau seguinte — do 2.º grau em y^{3}

\left( y^{3}\right) ^{2}+qy^{3}-\dfrac{p^{3}}{27}=0.

O leitor poderá verificar que os dois métodos conduzem à mesma fórmula resolvente; por exemplo, escolhendo a solução y^{3}=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}, tem-se

\begin{aligned}t&=y-\dfrac{p}{3y}=\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}-\dfrac{p}{3\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}} \\&=\cdots\\  &=\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}.\end{aligned}

Problema de um leitor — maximização do volume de um cone cuja planificação é um sector circular dado

Destaco desta forma o seguinte enunciado, na grafia brasileira, de um problema que um leitor deixou num comentário:

« Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu volume seja máximo ? »

Proposta de resolução:

Seja \alpha o ângulo do sector circular medido em radianos. O comprimento L do arco do sector circular, de raio 3\,\mathrm{m} , é igual a L=3\alpha\,\mathrm{m}. O cone construido com este sector circular tem uma base circular cujo raio r é igual r=\dfrac{L}{2\pi }=\dfrac{3\alpha }{2\pi } e cuja altura h é igual a h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}.

Sendo assim, o volume do cone é dado por

V\left( \alpha \right) =\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}\sqrt{9-\left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}}=\dfrac{9}{8}\dfrac{\alpha ^{2}}{\pi ^{2}}\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha ^{2}}.

Como a derivada

V'\left(\alpha\right)=\dfrac{9}{8\pi ^{2}}\alpha\dfrac{8\pi  ^{2}-3\alpha^{2}}{\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha^{2}}}

tem os seguintes zeros: \alpha =0,\alpha =\pm \dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi, excluindo a solução negativa, e estudando o sinal de V'\left( \alpha \right), conclui-se que o máximo V_{\text{max}} ocorre para \alpha =\dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi , a que corresponde r=\dfrac{3\alpha }{2\pi }=\sqrt{6}\, \mathrm{m} e h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}=\sqrt{3}\, \mathrm{m}. O seu valor é V_{\text{max}}=2\sqrt{3}\pi\, \mathrm{m}^3.

Actualização: 20-11-2014

Corrida em sentidos opostos ao longo de uma circunferência

Na questão Travelling round a circle, panav2000k, colocou, no MSE, um  problema, com o seguinte enunciado (tradução):

A e B partem do mesmo ponto e percorrem, em sentidos opostos, uma circunferência de 4324\text{ }\mathrm{m}. A só arranca quando B já percorreu 716\text{ }\mathrm{m}. Cruzam-se quando A já correu 1927\text{ }\mathrm{m}. Quem chegará primeiro à partida e a que distância estarão um do outro, nessa altura?

Tradução da minha resolução:

Seja t_{1} o tempo de que B necessita para percorrer 716 \textrm{m } a uma velocidade constante v_{B}. Então 716=v_{B}t_{1}. Se t_{2} for o instante em que A e B passam um pelo outro, então

\begin{cases}4324-1927=v_{B}t_{2} \\[2ex] 1927=v_{A}\left( t_{2}-\dfrac{716}{v_{B}}\right) \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}, \end{cases}

em que v_{A} é a velocidade constante de A. Simplificando obtemos

\begin{cases}t_{2}=\dfrac{2397}{v_{B}} \\[2ex] \dfrac{v_{A}}{v_{B}}=\dfrac{1927}{1681}=\dfrac{47}{41} \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}.\end{cases}

Se t_{A} e t_{B} forem os tempos adicionais de que, respectivamente, A e B necessitam para chegar ao ponto de partida, então

\begin{cases}1927=v_{B}t_{B} \\[2ex] 2397=v_{A}t_{A}=\dfrac{47}{41}v_{B}t_{A}, \end{cases}

o que implica que \dfrac{t_{A}}{t_{B}}=\dfrac{51}{47}>1. Assim, B chegará em primeiro lugar à partida. Quando B atinge esse ponto, A ainda necessita de percorrer

\begin{aligned}2397-v_{A}t_{B} &=2397-v_{A}\frac{1927}{v_{B}}=2397-\frac{47}{41}1927 \\&=2397-2209=188\text{ }\mathrm{m}.\end{aligned}