Fórmula de Cardano e intuição

Relativamente às raízes do polinómio cúbico

f(x)=x^3+bx+c

Holdsworth88 colocou uma questão antiga, no MSE, Question Regarding Cardano’s Formula, em que pergunta se há uma explicação intuitiva para a separação da variável x na soma de u e v.

Tradução da minha resposta:

Cardano sabia que qualquer equação quadrática da forma

x^2+bx+c=0\qquad(1)

se pode escrever como

x^2-(u+v)x+uv=0\qquad(2)

em que uv são as raízes da equação. Visto que fazendo t=u+v na equação cúbica reduzida

t^3+pt+q=0\qquad(3)

se obtém

(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v)=0\qquad(4)

então qualquer raiz raiz do sistema

u^3+v^3+q=0\qquad(5a)

3uv+p=0\qquad(5b)

é igualmente uma raiz de (4), e, com base na propriedade da equação quadrática indicada em (2), é agora fácil achar a fórmula de t que satisfaça a equação (3).

Necessitamos apenas de determinar dois números u^3v^3 cuja soma seja -q e o produto, -p^3/27, que sabemos de (1)-(2) são as raízes da equação quadrática

Y^2+qY-\dfrac{p^3}{27}=0.\qquad(6)

Por conseguinte,

t=u+v=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}.

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Calculus Camp

Américo Tavares:

Divulgando: O LACES (Los Angeles Center for Enriched Studies) contribui para a preparação de mais de 200 estudantes para o Advanced Placement test, organizando o Calculus Camp.

Originally posted on Teaching Calculus:

Today I welcome a guest blogger. Robert Vriesman writes about his Calculus Camp. The annual camp is a great review technique. I was honored to be invited this year and had a great time helping the kids. Thank you Robert for the Blog and the weekend with your students

Many high schools around the nation have only eight to fifteen kids taking Calculus in any given school year. So what are the teachers at the Los Angeles Center for Enriched Studies (LACES) doing differently along with generous help from professors, math professionals, and some parents doing to attract upwards of 200 students to take Calculus each year? The answer…Calculus Camp!

Calculus Camp was first organized by me fourteen years ago when I was LACES Department Chair. The camp began with only forty students and just a handful of teachers, but the excitement generated by the opportunity to go to…

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Dois desenvolvimentos em série de Laurent

Na questão Finding the Laurent series of f(z)=1/((z-1)(z-2)), Freeman perguntou como se determina a série de Laurent da função

f(z)=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}

em R_1=\{z: 1<|z|<2\} e R_2=\{z:|z|>2\}.

Tradução da minha resposta:

A função f(z) pode desenvolver-se em duas fracções parciais

f(z):=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1}.

Vamos desenvolver agora cada fracção numa série geométrica. Em R_{2} estas séries são:

\begin{aligned}\frac{1}{z-2}&=\frac{1}{z\left( 1-2/z\right) }=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }\left( \frac{2}{z}\right)^{n}\qquad\left\vert  z\right\vert >2\\[2ex]&=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}\frac{1}{z^{n+1}}\end{aligned}

e

\begin{aligned}\frac{1}{z-1}&=\frac{1}{z\left( 1-1/z\right) } \\[2ex]  &=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }\left( \frac{1}{z}\right)  ^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}\qquad \left\vert z\right\vert >1.  \end{aligned}

Assim, a série de Laurent será

\dfrac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}(2^{n}-1)\qquad \left\vert z\right\vert >2>1.

E em R_{1} as duas séries geométricas são

\begin{aligned}  \frac{1}{z-2} &=\frac{-1/2}{1-z/2}=\sum_{n=0}^{\infty }\left( -\frac{1}{2}  \right) \left( \frac{z}{2}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert <2 \\[2ex]  &=\sum_{n=0}^{\infty }-\frac{1}{2^{n+1}}z^{n}  \end{aligned}

e

\begin{aligned}  \frac{1}{z-1} &=\frac{1/z}{1-1/z}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z}\left(  \frac{1}{z}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert >1 \\[2ex]  &=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}.  \end{aligned}

Obtemos, portanto, a seguinte série de Laurent:

\dfrac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\left( -  \dfrac{1}{2^{n+1}}z^{n}-\dfrac{1}{z^{n+1}}\right) \qquad 1<\left\vert  z\right\vert <2.

Diofanto, o impulsionador da álgebra

Américo Tavares:

A propósito de Diofanto, um problema de Matemática do Básico com um enunciado bem construído.

Originally posted on perspectivas:

diofantoDiofanto, que viveu em Alexandria no século III d.C., foi o impulsionador da álgebra. Sabe-se muito pouco da sua vida, excepto que:

  • passou 1/6 da sua vida como criança;
  • passou 1/12 da sua vida como adolescente;
  • viveu mais 7 anos (depois da adolescência) antes de ter um filho que viveu metade do tempo de vida do pai;
  • Diofanto, depois da morte do filho, sobreviveu mais 1/6 do seu (de Diofanto) tempo total de vida.

¿Quantos anos viveu Diofanto?

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