Números racionais: exercício sobre dízimas periódicas e série geométrica

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Prove que  qualquer número representado por uma dízima periódica é racional.

Se considerar, como exemplo, o número 0,\overline{150}, em que a barra, nesta notação, significa que o grupo de 3 dígitos 150 se repete indefinidamente

0,\overline{150}=0,150\,150\,150\,\ldots

posso escrevê-lo na forma

0,\overline{150}=\dfrac{150}{10^{3}}+\dfrac{150}{10^{6}}+\dfrac{150}{10^{9}}+\cdots

e calcular agora a soma da progessão geométrica de razão 10^{-3} e primeiro termo 0,150

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{150}{10^{3n}}=\dfrac{0,150}{1-10^{-3}}=\dfrac{150}{10^{3}-1}=\dfrac{50}{333}.

No segundo exemplo tomo o número 0,3\overline{150} como ilustrativo do caso em que a dízima não começa imediatamente a seguir à  vírgula. Assim, usando o resultado anterior

0,3\overline{150}=0,3+0,1\times 0,\overline{150}=0,3+0,1\times \dfrac{50}{333}=\dfrac{1049}{3330}.

No último exemplo, considero -2,3\overline{150}. Será

-2,3\overline{150}=-\left( 2,3\overline{150}\right)=-\left( 2+0,3\overline{150}\right)=-\left( 2+\dfrac{1049}{3330}\right)=-\dfrac{7709}{3330}.

O caso geral é simplesmente o de uma dízima periódica com p dígitos, bastando, como se viu,  mostrar a propriedade para os números do tipo 0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}} , porque os outros são uma consequência imediata.

O número cujos dígitos são os que estão sob a barra tem o valor inteiro [corrigido, ver comentário]

N=10^{0}a_{0}+10^{1}a_{1}+\cdots +10^{p-1}a_{p-1}

Sendo assim, usando o mesmo raciocínio do primeiro exemplo, tem-se

0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}}=\dfrac{N}{10^{p}}+\dfrac{N}{10^{2p}}+\cdots =\dfrac{N/10^{p}}{1-10^{-p}}=\dfrac{N}{10^{p}-1}.

Exemplo de aplicação: x=0,151515\ldots \;\;y=1,2151515\ldots

Para x=0,\overline{15}, N=10^{0}\times 5+10^{1}\times 1=15,x=\dfrac{15}{10^{2}-1}=\dfrac{15}{99}. De x deduz-se y

y=1,2\overline{15}=1+0,2+0,1x=\dfrac{12}{10}+\dfrac{1}{10}\dfrac{15}{99}=\dfrac{401}{330}.

Exercício: determine o número racional representado na forma decimal por 0,\;3311111\ldots.

Resposta:

\dfrac{149}{450}

[Actualização de 22-9-2008: acrescentado pdf]

28 thoughts on “Números racionais: exercício sobre dízimas periódicas e série geométrica

  1. Para perceber o raciocínio tem de estar familiarizada com o conceito de série. Nesse âmbito é um exercício de rotina relativamente simples, opino eu!

    PS. Este assunto, embora trate de números racionais, não é de nível secundário, mas superior. Os de nível secundário ou básico são classificados por mim nas categorias de ‘Matemática-secundário’ e ‘Matemática-Básico’. Todas as outras entradas de carácter matemático que não levem uma destas classificações são de nível mais elevado. Se estiver ainda no Secundário não deve portanto ficar desanimada.

    • Bom você parece ser um homem muito sábio eu estou na 8 serie e esse é um trabalho que a minha Professora passou um trabalho de números racionais e irracionais sei que esse assunto é mais aprofundado no ensino médio mais é do para nós termos nosão do que vamos enfrentar pela frente

    • As dízimas finitas são números racionais (quocientes de dois números inteiros, ou seja, uma fracção). As dízimas infinitas não periódicas, como o \pi=3,141618\dots são irracionais. As dízimas infinitas periódicas são números racionais, porque se podem exprimir como um quociente de dois inteiros.
      No método que indico, o numerador da fracção é o inteiro N e o denominador 10^p-1, em que p é o número de dígitos que se repetem periodicamente. N é o inteiro que refiro.
      O caso geral de números maiores do que 1 é uma consequência: qualquer número é a soma da parte inteira, antes da vírgula, com a parte a seguir à vírgula. Por exemplo
      3,1416... = 3+0,1416... . No caso da parte a seguir à vírgula ser uma fracção de inteiros, o número é a soma de um inteiro com uma fracção de inteiros, logo também uma fracção de inteiros, isto é, um número racional.

      Nota: alterei “valor decimal” para “valor inteiro”

  2. Prof. recebi um problema curioso:
    Quantas algarismos possui o período da dízima (0,171717…)*(0,3737…)?
    Ficarei muito grato, com sua ajuda…

    • O período da dízima é 396.

      Obtive-o no software PARI/GP:

      0, ( 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 8 3 1 8 5 3 8 9 2 4 5 9 9 5 3 0 6 6 0 1 3 6 7 2 0 7 4 2 7 8 1 3 4 8 8 4 1 9 5 4 9 0 2 5 6 0 9 6 3 1 6 7 0 2 3 7 7 3 0 8 4 3 7 9 1 4 4 9 8 5 2 0 5 5 9 1 2 6 6 1 9 7 3 2 6 8 0 3 3 8 7 4 0 9 4 4 8 0 1 5 5 0 8 6 2 1 5 6 9 2 2 7 6 2 9 8 3 3 6 9 0 4 3 9 7 5 1 0 4 5 8 1 1 6 5 1 8 7 2 2 5 7 9 3 2 8 6 3 9 9 3 4 7 0 0 5 4 0 7 6 1 1 4 6 8 2 1 7 5 2 8 8 2 3 5 8 9 4 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 8 3 1 8 5 3 8 9 2 4 5 9 9 5 3 0 6 6 0 1 3 6 7 2 0 7 4 2 7 8 1 3 4 8 8 4 1 9 5 4 9 0 2 5 6 0 9 6 3 1 6 7 0 2 3 7 7 3 0 8 4 3 7 9 1 4 4 9 8 5 2 0 5 5 9 1 2 6 6 1 97 3 2 6 8 0 3 3 8 7 4 0 9 4 4 8 0 1 5 5 0 8 6 2 1 5 6 9 2 2 7 6 2 9 8 3 3 6 9 0 4 3 9 7 5 1 0 4 5 8 1 1 6 5 1 8 7 2 2 5 7 9 3 2 8 6 3 9 9 3 4 7 0 0 5 4 0 7 6 1 1 4 6 8 2 1 7 5 2 8 8 2 3 5 8 9 4 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1)

      O número

      ab=\dfrac{17}{99}\times\dfrac{37}{99}=\dfrac{629}{9801}

      é igual a

      \dfrac{N}{10^{p}-1}

      em que N é o inteiro

      N=629\dfrac{10^{396}-1}{9801}

      e p=396 o período da dízima, ou seja:

      \dfrac{629}{9801}=\dfrac{N}{10^{p}-1}=\dfrac{629\dfrac{10^{396}-1}{9801}}{10^{396}-1}

      sendo \dfrac{10^{396}-1}{9801} um número inteiro.

      P.S. Publiquei hoje em entrada própria este problema

      https://problemasteoremas.wordpress.com/2010/04/02/6299801-periodo-da-dizima/

    • Vou reformular ligeiramente o enunciado para: todo o número racional x=\dfrac{p}{q} (p,q\in\mathbb{N}) é representado por uma dízima finita ou por uma dízima periódica infinita.
      Basta mostrar o caso em que 0<x=\dfrac{p}{q}<1, porque os outros se podem reduzir a esse.
      Proponho a seguinte prova:
      Se a dízima infinita não periódica 0,abcd\ldots representasse o racional x=\dfrac{p}{q}, haveria, por definição de número racional, dois inteiros p e q tais que \dfrac{p}{q}=0,abcd\ldots . Mas p=0,abcd\ldots \times q não seria inteiro, o que é uma contradição que resulta de ter admitido que 0,abcd\ldots representava o racional \dfrac{p}{q}.

      PS. Se a dízima for finita é óbvio que o número representado é racional.

    • Américo, muito obrigado!

      Por um lado, isto parece claramente suficiente.

      Mas, se eu não estiver perdendo algo óbvio (bem possível, rs), parece ainda restar alguma possibilidade (bastante exótica) de que um número irracional “0,abcd…”, quando multiplicado pelo inteiro “q”, resulte num inteiro “p”, afinal. Deve haver alguma razão adicional de porque isto é impossível.

      Pois a princípio também parece impossível (mas só parece) que uma dízima infinita de período 396 (do seu exemplo mais acima, rs) 0,06417712…, ao ser multiplicada por 9081, resulto no inteiro 629.

      (Sei pouca matemática e muita filosofia, rs… Dá nisso.)

  3. Caro Lauro

    Por exemplo \sqrt{2}=1,41421356\ldots é um número irracional, visto que se demonstra rigorosamente que não existem inteiros p e q
    tais que \sqrt{2}=\dfrac{p}{q}. Uma forma de responder à sua dúvida/objecção é dizer que todas as dízimas infinitas não periódicas representam, por definição, números irracionais.

    Outra explicação que contraria a “possibilidade exótica” que refere: não havendo período, não é possível exprimir a dízima como uma série geométrica, tal como acontece com as periódicas. Se reparar na expressão \dfrac{N}{10^{p}-1}
    da série geométrica que representa uma dízima periódica de um racional compreendido entre 0 e 1, se p\rightarrow \infty , então N\rightarrow \infty e 10^{p}-1\rightarrow \infty , como sugerem aliás as sucessivas aproximações de \sqrt{2} por dízimas periódicas:

    1,\overline{41}=1+\dfrac{41}{10^{2}-1}=1+\dfrac{41}{99} =\dfrac{140}{99}

    1,\overline{4142}=1+\dfrac{4142}{10^{4}-1}=1+\dfrac{4142}{9999} =\dfrac{14\,141}{9999}

    1,\overline{414213}=1+\dfrac{414213}{10^{6}-1}=1+\dfrac{138\,071}{333\,333} =\dfrac{471\,404}{333\,333}, etc.

    Logo não há números inteiros finitos que representem a dízima infinita não periódica 1,41421356\ldots na forma \dfrac{p}{q}.

    No caso que refere a multiplicação dá um inteiro porque o denominador da soma da série é um número finito.

    Espero ter ajudado na interpretação desta propriedade das dízimas infinitas.

  4. Sem dúvida ajudou, Américo!

    Muito obrigado! =)

    (Olha, vou contar por contar meu interesse na questão.

    Estou justamente interessado pelo Infinito, e por uma abordagem segundo a qual não seria verdade que todos os infinitos (enumeráveis) são iguais. De modo que ∞ – 1 = ∞ seria falso, mas ∞ + 1 = ∞* seria verdade e, como consequência, ∞* – ∞ = 1. Nesse caso, tampouco N/∞ = ∞. Talvez isso tenha consequências para o argumento acima.

    Com essas ideias doidas na cabeça, fiquei feliz quando, ontem, descobri isso: http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/Lecture2/HTMLLinks/Lect2_1.html

    Mas enfim, tenho MUITA matemática pra aprender ainda!

    Outra vez, obrigado!)

    • Já li, ao nível de divulgação, sobre análise não standard e hiperreais, mas nunca a estudei, ou mesmo outras questões fundacionais que parecem interessar-lhe. Estamos iguais: também tenho muita matemática para aprender. No entanto, os meus interesses actuais não vão para esses temas.

    • A compreensão deste este exercício, na forma que lhe dei, depende de conhecimentos básicos de séries. Se ainda não deu séries, é natural que considere complicado.

    • Caro Gustavo,

      Outra maneira mais simples de obter, por exemplo, a primeira fracção é a seguinte, mas nesta entrada pretendi fazer a ligação com o conceito de série geométrica:

      1 – escreva a dízima como a incógnita x

      x=0,150150150\ldots\qquad(1)

      2 – multiplique por 1000\qquad(2)

      1000x=150.150150\ldots

      3 – subtraia (2) de (1)

      1000x-x=150.150150\ldots-0.150150150\ldots\qquad(3)

      4 – simplifique (3)

      999x=150\qquad(4)

      5 – resolva (4) em ordem a x

      x=\dfrac{150}{999}=\dfrac{50}{333}

      Espero que assim fique mais claro.

  5. Boa Tarde Américo.

    Bom minha duvida e o seguinte entendo um pouco de conceito de series geométricas mas tenho grande dificuldade quando o assunto e transforma-las de uma dizima periódica para uma fração comum. Queria saber como posso fazer isso no simples fato de observar o que esta sendo dado e fazer a transformação desse numero ? No exercício dado foi assim 2.04545

    • Boa tarde, Alessandra,

      Este caso nada tem a ver com os exemplos tratados neste post, porque o número 2.04545 é uma dízima finita e não infinita.

      Pode começar por escrever 2.04545 na forma 2.04545=2+0.045+0.00045. De seguida, converter em fracções

      \begin{aligned}2.04545&=2+0.045+0.00045\\[2ex]&=2+\dfrac{45}{1000}+\dfrac{45}{100000}\\[2ex]&=2+\dfrac{5\times 9}{5\times 200}+\dfrac{5\times 9}{5\times 20000}\end{aligned}

      Finalizar o cálculo somando as três parcelas. O cálculo completo pode ser apresentado, por exemplo da seguinte forma:

      \begin{aligned}2.04545&=2+0.045+0.00045\\[2ex]&=2+\dfrac{45}{1000}+\dfrac{45}{100000}\\[2ex]&=2+\dfrac{5\times 9}{5\times 200}+\dfrac{5\times 9}{5\times 20000}\\[2ex] &=\dfrac{2}{1}+\dfrac{9}{200}+\frac{9}{20000}\\[2ex]&=\dfrac{2\times 20000}{1\times 20000}+\dfrac{9\times 100}{200\times 100}+\dfrac{9}{20000}\\[2ex]&=\dfrac{40000}{20000}+\dfrac{900}{20000}+\dfrac{9}{20000}\\[2ex]&=\dfrac{40000+900+9}{20000} \\[2ex] &=\dfrac{40909}{20000}\end{aligned}

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