Arquivo de etiquetas: Demonstração

Métodos analítico e sintético de demonstração de identidades trigonométricas

Publicado em 6 de Junho de 2012 por Américo Tavares

Na questão Why is it that when proving trig identities, one must work both sides independently? do MSE, Ord pergunta porque não pode manipular a totalidade de uma identidade para a demonstrar. Na minha resposta disse-lhe que na verdade pode. … Continuar a ler →

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Desigualdade envolvendo a função exponencial

Publicado em 4 de Junho de 2012 por Américo Tavares

Nesta questão, no MSE,  sssuuuccc pergunta como se pode demonstrar a desigualdade Na minha resposta considerei a seguinte majoração, válida no intervalo considerado pelo que Daqui decorre imediatamente a desigualdade que se pretende demonstrar.

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Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Publicado em 18 de Abril de 2012 por Américo Tavares

Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy-Schwarz A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou Demonstração … Continuar a ler →

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Soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros positivos

Publicado em 7 de Setembro de 2011 por Américo Tavares

Em resposta a uma questão  de George Edison, no MSE, apresentei as seguintes duas demonstrações de Demonstração 1. (Dias Agudo, Cândido da Silva, Matemáticas Gerais III, Exercício 2.5.1). Seja . Considere-se e some-se para : O termo no primeiro membro … Continuar a ler →

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Aritmética Racional de Aniceto Monteiro e Silva Paulo. Pequeno Teorema de Fermat

Publicado em 20 de Julho de 2011 por Américo Tavares

 Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo. O objectivo … Continuar a ler →

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Republicação da demonstração combinatória (ou combinatorial) da convolução de Vandermonde e de outra soma binomial

Publicado em 25 de Junho de 2011 por Américo Tavares

(Inicialmente publicada nesta entrada.) Proposição: É válida a seguinte identidade combinatória que é a chamada convolução de Vandermonde. Pondo , obtém-se e para finalmente, . Demonstração: Existe uma demonstração meramente combinatória da convolução de Vandermonde: Dado o conjunto , considerem-se … Continuar a ler →

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Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

Publicado em 20 de Março de 2010 por Américo Tavares

As relações de recorrência associadas a são: e em que, e , podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que . A fórmula explícita da sucessão , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por: pelo que e Vamos mostrar que verifica … Continuar a ler →

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Geometria: onde está o teorema de Pitágoras no logótipo do NTR ?

Publicado em 17 de Março de 2010 por Américo Tavares

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras? Obs. Os dois quadrados maiores são iguais. Fonte do logo — Primeiro slide de:  Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic … Continuar a ler →

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Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

Publicado em 9 de Março de 2010 por Américo Tavares

No artigo de Arsélio Martins,  Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que … Continuar a ler →

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Novo exemplo de demonstração de uma identidade trigonométrica pela introdução de uma variável complexa

Publicado em 8 de Março de 2010 por Américo Tavares

Proponho-me demonstrar a seguinte identidade trigonométrica     pelo método de mudança de variável explicado anteriormente nesta entrada.  Assim, e, como vem e no primeiro membro . Quanto ao segundo membro, tem-se e pelo que . Igualando os dois membros, obtém-se portanto: … Continuar a ler →

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