Arquivo de etiquetas: Demonstração

Métodos analítico e sintético de demonstração de identidades trigonométricas

Na questão Why is it that when proving trig identities, one must work both sides independently? do MSE, Ord pergunta porque não pode manipular a totalidade de uma identidade para a demonstrar. Na minha resposta disse-lhe que na verdade pode. … Continuar a ler

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Desigualdade envolvendo a função exponencial

Nesta questão, no MSE,  sssuuuccc pergunta como se pode demonstrar a desigualdade Na minha resposta considerei a seguinte majoração, válida no intervalo considerado pelo que Daqui decorre imediatamente a desigualdade que se pretende demonstrar.

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Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy-Schwarz A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou Demonstração … Continuar a ler

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Soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros positivos

Em resposta a uma questão  de George Edison, no MSE, apresentei as seguintes duas demonstrações de Demonstração 1. (Dias Agudo, Cândido da Silva, Matemáticas Gerais III, Exercício 2.5.1). Seja . Considere-se e some-se para : O termo no primeiro membro … Continuar a ler

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Aritmética Racional de Aniceto Monteiro e Silva Paulo. Pequeno Teorema de Fermat

 Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo. O objectivo … Continuar a ler

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Republicação da demonstração combinatória (ou combinatorial) da convolução de Vandermonde e de outra soma binomial

(Inicialmente publicada nesta entrada.) Proposição: É válida a seguinte identidade combinatória que é a chamada convolução de Vandermonde. Pondo , obtém-se e para finalmente, . Demonstração: Existe uma demonstração meramente combinatória da convolução de Vandermonde: Dado o conjunto , considerem-se … Continuar a ler

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Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

As relações de recorrência associadas a são: e em que, e , podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que . A fórmula explícita da sucessão , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por: pelo que e Vamos mostrar que verifica … Continuar a ler

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Geometria: onde está o teorema de Pitágoras no logótipo do NTR ?

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras? Obs. Os dois quadrados maiores são iguais. Fonte do logo — Primeiro slide de:  Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic … Continuar a ler

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Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

No artigo de Arsélio Martins,  Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que … Continuar a ler

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Novo exemplo de demonstração de uma identidade trigonométrica pela introdução de uma variável complexa

Proponho-me demonstrar a seguinte identidade trigonométrica     pelo método de mudança de variável explicado anteriormente nesta entrada.  Assim, e, como vem e no primeiro membro . Quanto ao segundo membro, tem-se e pelo que . Igualando os dois membros, obtém-se portanto: … Continuar a ler

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