Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

Publicado em 20 de Maio de 2010 por Américo Tavares

A forma canónica da equação do 4.º grau ou quártica é:

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

À semelhança do que foi feito para a equação cúbica, faz-se a substituição x=y+h:

a\left( y+h\right) ^{4}+b\left( y+h\right) ^{3}+c\left( y+h\right) ^{2}+d\left( y+h\right) +e=0

Ordenando pelas potências decrescentes de y fica:

\begin{aligned}&ay^{4}+\left( b+4ah\right) y^{3}+\left( c+3bh+6ah^{2}\right) y^{2}\\&+\left( d+2ch+4ah^{3}+3bh^{2}\right) y+ah^{4}+bh^{3}+ch^{2}+dh+e=0\end{aligned}

Se dividirmos por a e  anularmos o termo em y^{3}, para o que devemos fazer

h=-\dfrac{b}{4a}\qquad \left( 2\right)

obtemos a equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0\qquad \left( 3\right)

sendo os seus coeficientes dados por

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}\qquad \left( 4\right)

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}\qquad \left( 5\right)

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}\qquad \left( 6\right)

Um dos métodos de resolução é o que usa uma equação cúbica auxiliar e que descrevo de seguida. O outro — que nem sempre funciona — é a factorização do 1.º membro da equação em dois factores do segundo grau.

Se somarmos e subtrairmos 2sy^{2}+s^{2} ao primeiro membro de \left( 3\right) , por razões que se tornarão evidentes mais abaixo, obtemos a equação equivalente:

    \underset{\left( y^{2}+s\right) ^{2}}{\underbrace{y^{4}+2sy^{2}+s^{2}}}-\left[ \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C\right] =0\qquad \left( 7\right)

Desenvolvemos a parcela \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C em factores lineares:

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=\left( 2s-A\right) \left( y-y_{+}\right) \left( y-y_{-}\right)

em que y_{+} e y_{-} são as soluções da equação do 2.º grau

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=0

y_{+}=\dfrac{B+\sqrt{B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) }}{2\left( 2s-A\right) }

y_{-}=\dfrac{B-\sqrt{B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) }}{2\left( 2s-A\right) }

Assim se o discriminante

B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) =-8s^{3}+4As^{2}+8Cs-4AC+B^{2}

for nulo, o que significa que s verifica a equação cúbica:

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0\qquad \left( 8\right)

então

y_{+}=y_{-}=\dfrac{B}{2\left( 2s-A\right) }

e

    \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=\left( 2s-A\right) \left( y-\dfrac{B}{2\left( 2s-A\right) }\right) ^{2}

pelo que a equação \left( 7\right) se transforma em

\left( y^{2}+s\right) ^{2}-\left( \sqrt{2s-A}y-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) ^{2}=0

Factorizando agora o primeiro membro ficamos com a equação:

\left( y^{2}+s+\sqrt{2s-A}y-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) \left( y^{2}+s-\sqrt{2s-A}y+\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0

cujas soluções são imediatas: as que anulam o primeiro factor verificam a equação do 2.º grau em U:

U^{2}+\sqrt{2s-A}U+\left( s-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0\qquad \left( 9\right)

e as que anulam o segundo verificam a equação do segundo grau em V

V^{2}-\sqrt{2s-A}V+\left( s+\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0\qquad \left( 10\right)

As soluções da equação reduzida \left( 3\right) são as duas de \left( 9\right) :

y_{1}=U_{+}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 11\right)

y_{2}=U_{-}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 12\right)

e as duas de \left( 10\right) :

y_{3}=V_{+}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 13\right)

y_{4}=V_{-}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 14\right)

em que s é uma solução da equação cúbica auxiliar \left( 8\right) que se repete

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0

As soluções da equação do 4.º grau inicial \left( 1\right) são pois:

x_{k}=y_{k}-\dfrac{b}{4a}\qquad k=1,2,3,4\qquad \left( 15\right)

Exemplo: Resolva

x^{4}+2x^{3}+3x^{2}-2x-1=0

\blacktriangleright Vemos que

a=1, b=2, c=3, d=-2 e e=-1

Calculamos os coeficientes da equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0

obtida pela substituição x=y-\dfrac{b}{4a}=y-\dfrac{1}{2}:

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}=\dfrac{3}{2}

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}=-4

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}=\dfrac{9}{16}

A equação cúbica auxiliar é, pois:

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0

8s^{3}-6s^{2}-\dfrac{9}{2}s-\dfrac{101}{8}=0

Determinação de uma solução real da equação cúbica: os seus coeficientes são

a=8,b=-6,c=-\dfrac{9}{2},d=-\dfrac{101}{8}

Nota: estas letras a, b, c, e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quártica, aqui designam os coeficientes da cúbica.

Pondo

s=t-\dfrac{b}{3a}=t+\dfrac{1}{4}

a equação cúbica transforma-se em

t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{7}{4}=0

visto que

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}=-\dfrac{3}{4}

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}=-\dfrac{7}{4}

Uma solução da equação cúbica é:

s_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}

s_{1}\approx 1,6608

As soluções da equação são então:

x_1=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{1}\approx -1,1748+1,6393i

x_{2}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{2}\approx -1,174\,8-1.6393i

x_{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{3}\approx 0,70062

x_{4}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{4}\approx -0,35095 \blacktriangleleft

Edição de 24.06.2013: corrigida gralha na nota.  Corrigido ainda s_1 nas fórmulas de x_1,x_2,x_3,x_4 do exemplo. Ver comentários de hoje do leitor Pedro.

—

Referências

WolframMathWorld, Quartic Equation

Ask Dr. Math, What are the general solutions to cubic and quartic polynomial equations?

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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41 respostas a Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

  1. Prof. Paulo Sérgio diz:
    21 de Maio de 2010 às 16:00

    Mais uma vez, com paciência, dedicação e destreza, você apresentou o assunto sobre as equações quárticas de forma brilhante. Parabéns!

    Neste link, eu apresento um caso particular da equação quártica que serve como assunto motivador para o caso geral.

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/06/um-caso-particular-da-equacao-quartica.html

    Responder
  2. Flausino Lucas Neves Spindola diz:
    16 de Dezembro de 2010 às 22:36

    muito legal, gostei, apresentação clara

    Responder
  3. Christien Guisard Hauegen diz:
    13 de Março de 2012 às 00:21

    Texto relevante, com explicação muito clara e abordada de maneira singular. Parabéns pelo conteúdo nobre publicado neste website.

    Responder
  4. silvio diz:
    7 de Setembro de 2012 às 04:42

    não entendir nada

    Responder
  5. Jean Suveges diz:
    6 de Fevereiro de 2013 às 19:07

    Boa tarde! Gostei muito do post de resolução de equações do 4º grau, mas fiquei com uma dúvida. As expressões para o cálculo das raízes x1, x2, x3 e x4 somente são aplicáveis se s1 for um número real?

    Desde já agradeço,

    JS.

    Responder
    • Américo Tavares diz:
      6 de Fevereiro de 2013 às 19:25

      Obrigado!

      Qualquer solução s_1 real ou complexa serve, mas os cálculos são muito mais fáceis se escolhermos uma solução real. E essa escolha é sempre possível porque uma equação cúbica com coeficientes reais tem uma ou três soluções reais.

    • Jean Suveges diz:
      6 de Fevereiro de 2013 às 19:49

      A resposta veio mais rápido do que eu imaginava. Muito obrigado!

      Agora, perdoa-me se eu estiver falando algum absurdo. Se posso escolher qualquer uma das soluções da equação cúbica auxiliar para econtrar as solução da equação quártica, não haveria três conjuntos de soluções diferentes para a equação quártica?

      Desde já agradeço,

      JS.

    • Pedro diz:
      21 de Junho de 2013 às 16:20

      Caro JS.

      Fiz alguns testes com raízes da equação de 4º grau com outras raízes de 3º grau, em que x’ trocando o resultado chegava em x”’; então penso que não resultem em 3 conjuntos, talvez em casos específicos.

      Pedro

    • Pedro diz:
      30 de Julho de 2013 às 15:15

      Agora estou considerando as possibilidades que levem ao resultado de apenas um conjunto solução. Quando se foi considerado que 8s^3 -4As^2-8Cs+4Ac-B^2=0 , os valores de s que satisfazem o valor de y são os que tornam a equivalência a zero e resultem na equação original de mesma forma. E testando cheguei ao mesmo resultado.

      Pedro.

  6. Américo Tavares diz:
    6 de Fevereiro de 2013 às 21:57

    A sua questão é bastante pertinente e não sei dar-lhe uma resposta cabal. É possível que no âmbito da Teoria de Galois a haja, mas não tenho conhecimentos para o afirmar. O meu primeiro comentário resultou de ter visto na versão inglesa da Wikipedia a confirmação de que se poderia escolher qualquer das soluções da cúbica auxiliar (nota: não verifiquei a equivalência da equação cúbica dessa entrada — “nested depressed cubic” — com a que apresento acima). A este respeito o forum Ask Dr. Math refere o mesmo. Quanto a mim, em termos numéricos, sempre escolhi a solução real da cúbica, como no exemplo que apresento.

    A minha interpretação é que como as três soluções de uma equação cúbica reduzida se podem exprimir numa única fórmula (a de Cardano), com duas parcelas que estão ligadas por uma condição envolvendo os coeficientes, tudo se conjugará para que essa condição mais a inerente à da equação quártica propriamente dita, acabe por reduzir o número de soluções independentes da quártica a quatro, qualquer que seja a escolha feita. Mas não conheço uma demonstração do que estou a afirmar. Apenas tenho uma coisa por certa: o número de soluções da quártica é quatro.

    Responder
  7. Pedro diz:
    19 de Junho de 2013 às 17:57

    Não consegui chegar em x3=0,70062; cheguei em 0,700598337 que é aproximadamente 0,70059 ou 0,70060

    0,70060 ≠ 0,70062

    o mesmo em x4= -0,35095; achei -0,350916832; que é aproximadamente -0,35091 ou -0,35092

    -0,35092 ≠ -0,35095

    Responder
    • Américo Tavares diz:
      19 de Junho de 2013 às 18:30

      Obtive no Quartic/Cubic/Quadratic Equation Calculator (http://www.freewebs.com/brianjs/ultimateequationsolver.htm ) as seguintes raízes (numeradas de forma diferente da do post):

      x_1\approx 0.700598336729

      x_2\approx -0.350916831928

      x_3\approx -1.174840752401+1.639280671417i

      x_4\approx -1.174840752401-1.639280671417i

      Os valores do post foram calculados no SWP, que tem uma menor precisão. Não os cheguei a calcular com uma calculadora científica. E o erro na aproximação da raíz da cúbica propaga-se às da quártica.

      Conclusão: os seus valores são mais precisos do que os que calculei.

      PS. O mesmo calculador dá como solução real da equação cúbica (na minha notação s_1) s_1\approx 1.660820082202.

  8. Pedro diz:
    20 de Junho de 2013 às 20:11

    Novamente seu post foi esclarecedor e objetivo, com ele consegui fazer a calculadora de equações de 4º grau, obrigado, possui alguma fórmula resolvente para equações de 5º grau em geral?

    Responder
    • Américo Tavares diz:
      20 de Junho de 2013 às 22:06

      Não tenho, nem há do tipo das do 1.º, 2.º, 3.º e 4.º grau! Foi demonstrado pelo matemático norueguês Niels Henrik Abel que as soluções da equação geral do 5.º grau (ou quíntica)

      ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

      não se podem exprimir em um número finito de operações algébricas: soma, subtracção, multiplicação, divisão, potênciação e radiciação, embora haja casos particulares da quíntica que são solúveis. É um resultado muito importante do séc. XIX. Pode começar por ver na Wikipédia o Teorema de Abel-Ruffini

      http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffini

      ou a versão inglesa Abel–Ruffini theorem que é muito mais desenvolvida

      http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem.

      Sendo assim as soluções da equação quíntica ou outras de ordem superior são calculadas por métodos numéricos. Claro que os casos particulares que se saiba terem solução podem ser calculados sem ser só por esses métodos numéricos.

      Veja na Wikipédia a Equação do quinto grau

      http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_quinto_grau

      e, em inglês,

      Quintic function http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function.

      Suponha que tem uma equação quíntica

      ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

      com coeficientes numéricos. Como tem obrigatoriamente de ter pelo menos uma solução real, pode procurá-la por um método numérico, por exemplo de Newton ou da secante. Se x_1 for uma solução encontrada, então divide

      ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f

      por

      x-x_1

      obtendo uma equação quádrupla, que já sabe como resolver.

  9. Pedro diz:
    24 de Junho de 2013 às 15:47

    No exemplo 1: “Nota: estas letras a, b, c e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quadrática, aqui designam os coeficientes da cúbica.”

    Não deveria ser: Nota: estas letras a, b, c, e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quártica, aqui designam os coeficientes da cúbica.

    Responder
  10. Pedro diz:
    12 de Julho de 2013 às 14:02

    Caro Américo Tavares, estou pensando em um modo de achar as soluções da equação quíntica a partir de uma raiz, e gostaria de lhe enviar por E-Mail.

    Pedro

    Responder
  11. Pedro diz:
    17 de Julho de 2013 às 12:06

    Caro Américo Tavares, reparo que em ay^4+\left ( b+4ah \right )y^3 + \left (c+3bh+6ah^2 \right )y^2 +\left ( d + 2ch + 4ah^3 +3bh^2 \right )y + ah^4 + bh^3 + ch^2 + dh + e = 0 , mais precisamente na parte \left (c+3bh+6ah^2 \right )y^2 +\left ( d + 2ch + 4ah^3 +3bh^2 \right )y existem 2 sinais de soma.

    Pedro

    Responder
  12. Pedro diz:
    29 de Agosto de 2013 às 18:17

    Caro Américo Tavares,

    Estou pesquisando um pouco sobre Equações de sexto grau, e tenho alguns resultados interessantes. Se acabar chegando em alguma conclusão útil estaria interessado em visualizá-los? Se sim comente e lhe enviarei um E-Mail.

    Pedro

    Responder
  13. Coelho Cinza diz:
    3 de Janeiro de 2017 às 22:02

    Caro Américo Tavares
    Cai nesse site por sorte e acabei achando essas suas soluções e explicações ótimas então primeiramente obrigado.
    Agora em segundo eu cheguei a conclusão que todas as equações de grau P^n (P um primo) podem ter suas raízes reveladas (não falo de uma formula geral mas sim de encontrar as raízes) e por tabela todas as equações com grau de número composto (contanto que já tenha soluções para as equações de grau P de seus divisores claro) pelas relações de Goulart e queria saber se isso é possível, se já descobriram isso, e se o senhor poderia me ajudar a compreender isso

    Responder
  14. João luposeli diz:
    6 de Fevereiro de 2017 às 00:16

    A fórmula é bacana, mas, ainda prefiro método de Newton rsrs
    Mesmo assim, ainda jade se pensar no trabalho caso haja 3 soluções para s ?
    Aplicando o método de viet achamos os 3 valores de s, porém, temos que testa-los, seria isso?

    Responder
  15. joao paulo diz:
    25 de Julho de 2017 às 14:01

    é horrivel aplicar essa formula cardano mds da uma dor de cabeça so vi 1 equaçao em que foi facil aplica-la e é a equaçao x³-3x-2 pq no resto.Muito ao contrario da formula de bhaskara que qualquer um mesmo com poucos conhecimentos matematicos pode resolver;.

    Responder
  16. joao paulo diz:
    25 de Julho de 2017 às 14:06

    Americo por acaso vc ja tentou desenvolver um metodo para equaçoes do 5 grau (n digo formula pq o teorema afirma q n existe) mas talves uma sequencia de passos para resolve-la?seria possivel??

    Responder
  17. mateus pedro diz:
    14 de Novembro de 2017 às 22:47

    existe algum metodo ou algoritimo para resolver uma equaçao do 5 grau nao digo uma formula pois nao existe

    Responder
  18. Matheus diz:
    7 de Março de 2018 às 17:14

    Ei e o que se faz quando e uma equaçao e de grau par(diz q grau impar possui uma soluçao real)
    como faria para calcula-la? ( caso o teorema das raizes racionais nao me der raiz)

    e esse Niels Henrik Abel esse teorema dele e realmente confiavel? sera que uma equaçao do 5 grau possua formula e eles que nao quiseram encontrar?

    Responder
  19. Américo Tavares diz:
    7 de Março de 2018 às 18:22

    Se um polinómio P(x) for de grau ímpar, para x positivo e suficientemente grande o valor de P(x) há de ser positivo. Para x fortemente negativo, P(x) será negativo. Como P(x) é uma função contínua há de passar pelo menos uma vez por 0. Se P(x) for de grau par, então, para x fortemente positivo ou negativo, P(x) será necessariamente positivo. Por isso não se pode garantir, em geral, que tenha um zero real. Por exemplo P(x)=x^8+1 é sempre positivo. Se do teorema que refere não se deduzir que haja zeros racionais, em geral só poderá tentar aplicar métodos numéricos. Uma das soluções é x\approx -0.92388-0.38268i. Quanto ao teorema de Abel não há qualquer dúvida que é verdadeiro. Veja, por exemplo, a página da Wikipédia “Teorema de Abel-Ruffini” da qual cito: “a solução de uma equação de grau cinco ou superior não pode ser sempre expressa a partir dos coeficentes e usando simplesmente as operações de adição, subtração/subtracção, multiplicação, divisão e potenciação (incluindo-se nesta última a extração/extracção de raízes”.

    Responder

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