Gervasio Gurgel Bastos — Sobre Raízes Reais da Cúbica Real

[Este artigo teórico é de autoria de Gervasio Gurgel Bastos, Prof. Titular (aposentado), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil, que comentou o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) e, no seguimento, me enviou esta versão em pdf, que aqui publico, com sua autorização  – AT]

« Resumo: São dadas duas demonstrações para o fato de serem reais as três raízes distintas da equação do terceiro grau com coeficientes reais cujo discriminante é positivo.

1. As Fórmulas de Cardano

No ano de 1545 foram publicadas pela primeira vez as fórmulas de resolução por radicais da equação do 3.º grau:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (C)

com a(\neq 0),b,c,d números reais. O processo de “completamento do cubo” reduz (C) à sua forma reduzida

z^{3}+pz+q=0\qquad (CR)

onde p e q são expressões polinomiais em função dos coeficientes originais. A mudança de variável se expressa por z=x+b/3a. O célebre truque x=u+v, com u e v não nulos, leva à determinação das fórmulas de Cardano (G. Cardano,1501-1576). A saber:

\begin{aligned}x_{1} &=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\\\\x_{2}&=w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+\overline{w}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\qquad (FC)\\\\x_{3}&=\overline{w}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\end{aligned}

onde

\delta =-4p^{3}-27q^{2},\quad w=e^{\frac{2\pi }{3} i}=\cos 2\pi /3+i\mathrm{sen\;}2\pi /3=-1/2+i\sqrt{3}/2

e os radicais complexos devem ser tomados tais que

\left( \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{-\delta }{108}}}\right) \cdot\left( \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{-\delta }{108}}}\right) =-p/3.

Os números (não necessariamente reais) u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}} e v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}} são as raízes da equação quadrática resolvente y^{2}+qx-p^{3}/27=0. Assim, para (u,v) temos nove pares correpondentes à extracção das raízes cúbicas complexas de u^{3} e v^{3} dos quais só interessam aqueles três satisfazendo à condição uv=-p/3.

2. O caso \delta >0

A partir de x_{1}=u+v,x_{2}=wu+\overline{w}v e x_{3}=\overline{w}u+wv encontramos (x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}=\delta . Essa formulação do discriminante em termos das raízes permite uma discussão sobre as raízes de (CR). Assim, por exemplo, quando \delta =0 tem-se três raízes distintas (raízes simples). Quando \delta >0 tem-se três raízes reais distintas.

Primeira demonstração: Supondo que uma das raízes fosse não real, digamos x_{1}=a+bi, com a,b reais, b\neq 0, teríamos que x_{1} também seria raiz de (CR), digamos x_{2}=\overline{x}_{1}. Pelas relações de Girard (A. Girardi, 1590-1633), temos 0=x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}+\overline{x}_{1}+x_{3} e portanto x_3=-2a  é um número real. Logo, teríamos

(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}=(2bi)^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(\overline{x}_{1}-x_{3})^{2}=-4b^{2}|x_{1}-x_{3}|^{4}<0,

contradição. Olhando de novo para as (FC), temos um aparente paradoxo. De fato, na fórmula

x_{1}=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}},

o lado esquerdo é real, mas no lado direito aparece uma soma de raízes cúbicas de números complexos não reais. Para decifrar esse mistério, provemos inicialmente o seguinte

Teorema 1. Se z_{1} e z_{2} são números complexos com mesmo módulo e cujo produto é um número real c>0, então z_{2}=\overline{z}_{1}.

Prova. Sejam \theta =\mathrm{Arg} z_{1} e \varphi =\mathrm{Arg} z_{2}. Então, temos \theta +\varphi \equiv \mathrm{Arg} c, i.e. \theta +\varphi =2\pi . Portanto, z_{2}=|z_{2}|(\cos (-\theta )+i\mathrm{sen\;}(-\theta ))=|z_{2}|(\cos (-\theta )+i\mathrm{sen\;}(-\theta ))=\overline{z}_{1}. \blacksquare

Segunda demonstração: Voltando ao discriminante \delta , agora com sua definição pelos coeficientes da cúbica, notemos que as condições 0<\delta =-4p^{3}-27q^{2} e

\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}\cdot \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}=-p/3

implicam, pelo teorema 1,

\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}=\overline{\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}}.

Logo, as raízes de (CR) dadas pelas fórmulas de Cardano, a saber:

\begin{aligned}x_{1} &=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}},\\&&\\x {2}&=w\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\overline{w}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}\end{aligned}

e

x_{3}=\overline{w}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+w\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}

são números reais.

Observação 1. Convém salientar que nos casos \delta \leq 0, que inclui o clássico exemplo do Casus Irreducibilis (coeficientes inteiros, sem raiz racional), podemos tomar os radicais cúbicos reais nas (F C). »


* * *

Este artigo cobre uma lacuna na forma meramente “calculatória” das minhas entradas no blog sobre a cúbica, notando-se claramente que saiu da pena de um matemático.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Gervasio Gurgel Bastos — Sobre Raízes Reais da Cúbica Real

  1. Reblogged this on Problemas e Teoremas and commented:

    Repulico temporariamente este artigo teórico sobre a equação cúbica que Gervasio Gurgel Bastos teve a amabilidade de me enviar.

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