[Este artigo teórico é de autoria de Gervasio Gurgel Bastos, Prof. Titular (aposentado), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil, que comentou o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) e, no seguimento, me enviou esta versão em pdf, que aqui publico, com sua autorização – AT]
« Resumo: São dadas duas demonstrações para o fato de serem reais as três raízes distintas da equação do terceiro grau com coeficientes reais cujo discriminante é positivo.
1. As Fórmulas de Cardano
No ano de 1545 foram publicadas pela primeira vez as fórmulas de resolução por radicais da equação do 3.º grau:
com números reais. O processo de “completamento do cubo” reduz à sua forma reduzida
onde e são expressões polinomiais em função dos coeficientes originais. A mudança de variável se expressa por . O célebre truque , com e não nulos, leva à determinação das fórmulas de Cardano (G. Cardano,1501-1576). A saber:
onde
e os radicais complexos devem ser tomados tais que
.
Os números (não necessariamente reais) e são as raízes da equação quadrática resolvente . Assim, para temos nove pares correpondentes à extracção das raízes cúbicas complexas de e dos quais só interessam aqueles três satisfazendo à condição .
2. O caso
A partir de e encontramos . Essa formulação do discriminante em termos das raízes permite uma discussão sobre as raízes de . Assim, por exemplo, quando tem-se três raízes distintas (raízes simples). Quando tem-se três raízes reais distintas.
Primeira demonstração: Supondo que uma das raízes fosse não real, digamos , com reais, , teríamos que também seria raiz de , digamos . Pelas relações de Girard (A. Girardi, 1590-1633), temos e portanto é um número real. Logo, teríamos
,
contradição. Olhando de novo para as , temos um aparente paradoxo. De fato, na fórmula
,
o lado esquerdo é real, mas no lado direito aparece uma soma de raízes cúbicas de números complexos não reais. Para decifrar esse mistério, provemos inicialmente o seguinte
Teorema 1. Se e são números complexos com mesmo módulo e cujo produto é um número real , então .
Prova. Sejam e . Então, temos , i.e. . Portanto, .
Segunda demonstração: Voltando ao discriminante , agora com sua definição pelos coeficientes da cúbica, notemos que as condições e
implicam, pelo teorema 1,
.
Logo, as raízes de dadas pelas fórmulas de Cardano, a saber:
e
são números reais.
Observação 1. Convém salientar que nos casos , que inclui o clássico exemplo do Casus Irreducibilis (coeficientes inteiros, sem raiz racional), podemos tomar os radicais cúbicos reais nas . »
* * *
Este artigo cobre uma lacuna na forma meramente “calculatória” das minhas entradas no blog sobre a cúbica, notando-se claramente que saiu da pena de um matemático.
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Repulico temporariamente este artigo teórico sobre a equação cúbica que Gervasio Gurgel Bastos teve a amabilidade de me enviar.