Cálculo de um integral impróprio (com logaritmo no numerador e um polinómio do 2.º grau no denominador) como aplicação do teorema dos resíduos da análise complexa

Na questão Evaluate an improper integral using complex analysis, no MSESimplyorange pretende determinar o valor do integral

\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\log x}{(x+a)^2+b^2}\,dx

usando análise complexa.

Tradução da minha resposta.

Baseada nesta resposta à questãoHow to evaluate \displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\log x}{(x^2+a^2)^2}dx” (Como calcular \displaystyle\int_0^\infty\frac{\log x}{(x^2+a^2)^2}dx)  e nesta resposta à questãoEvaluate \displaystyle\int_0^\infty\dfrac{(\log x)^4dx}{(1+x)(1+x^2)}” (Cálculo de \displaystyle\int_0^\infty\dfrac{(\log x)^4dx}{(1+x)(1+x^2)}) .  Em vez de uma função com \log z no numerador, consideramos uma função com \log^2 z. Este método é exactamente o mesmo do indicado nos links dos comentários.

Para a,b>0 este método dá a seguinte fórmula explícita

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\log x}{\left( x+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dx=\frac{1}{2b}\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) \log \left( a^{2}+b^{2}\right) .\qquad a,b>0\qquad (\ast)

Escolhi a função multívoca f(z) com uma linha de ramificação  \arg z=0 definida por

\begin{aligned}f(z)&=\dfrac{\log ^{2}z}{\left( z+a\right) ^{2}+b^{2}},\quad \text{com }0<\arg z<2\pi ,\quad z=re^{i\theta }\\&=\dfrac{\log ^{2}z}{\left( z-z_{1}\right)\left( z-z_{2}\right) }\qquad z_{1}=-a+ib,\quad z_{2}=-a-ib,\end{aligned}

e integrei-a no sentido directo ao longo do contorno fechado \Gamma mostrado na figura. Este contorno é furado em redor do ponto de ramificação O e consiste nos círculos \gamma _{R} (\left\vert z\right\vert =R) e \gamma _{\varepsilon } (\left\vert z\right\vert =\varepsilon), 0<\varepsilon <1<R e no segmento \left[ \varepsilon,R\right] descrito no sentido positivo por cima do eixo dos x e no sentido negativo por baixo do eixo dos x.

msecontourwithbranchcutandpoles

Contorno fechado \Gamma

No segmento “superior” \left[ \varepsilon,R\right], \theta =0 (r\in \left[ \varepsilon ,R\right] ) e

f(z)=\dfrac{\left( \log r\right) ^{2}}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}.

No segmento “inferior” \left[ \varepsilon,R\right], \theta =2\pi (r\in \left[ \varepsilon ,R\right] ) e

f(z)=\dfrac{\left( \log \left( re^{i2\pi }\right) \right) ^{2}}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}=\dfrac{\left( \log r+i2\pi \right) ^{2}}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}.

Como tal,

\begin{aligned}I &=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0,R\rightarrow \infty }\oint_{\Gamma}\dfrac{\left( \log z\right) ^{2}}{\left( z+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dz, \\ &=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\left( \log r\right) ^{2}}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dr-\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\left( \log \left( re^{i2\pi }\right) \right) ^{2}}{\left( re^{i2\pi }+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dr \\ &\quad+\lim_{R\rightarrow \infty }\displaystyle\int_{\gamma _{R}}\dfrac{\left( \log z\right)^{2}}{\left( z+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dz-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\displaystyle\int_{\gamma _{\varepsilon }}\dfrac{\left( \log z\right) ^{2}}{\left( z+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dz \\&=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\left( \log r\right) ^{2}-\left( \log r+i2\pi\right) ^{2}}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dx \\ &=4\pi ^{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dr-i4\pi\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\log r}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dr \end{aligned}

desde que

\lim_{R\rightarrow \infty }\displaystyle\int_{\gamma _{R}}\dfrac{\left( \log z\right) ^{2}}{\left( z+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dz=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\displaystyle\int_{\gamma _{\varepsilon }}\dfrac{\left( \log z\right) ^{2}}{\left( z+a\right) ^{2}+b^{2}}\,dz=0,\quad \text{(vide em baixo).}

Pelo teorema dos resíduos

\begin{aligned}I &=2\pi i\left( \underset{\displaystyle{z=z_{1}}}{\text{\textrm{Res}}}f(z)+ \underset{\displaystyle{z=z_{2}}}{\text{\textrm{Res}}}f(z)f(z)\right) \\&=2\pi i\left[ \underset{\displaystyle{z=z_{1}}}{\text{\textrm{Res}}}\dfrac{\left( \log z\right) ^{2}}{\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) }+\underset{\displaystyle{z=z_{2}}}{\text{\textrm{Res}}}\dfrac{\left( \log z\right)^{2}}{\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) }\right] \\&=2\pi i\left[ \dfrac{\left( \log z_{1}\right) ^{2}}{z_{1}-z_{2}}+\dfrac{\left( \log z_{2}\right) ^{2}}{z_{2}-z_{1}}\right] \\&=2\pi i\left[ \dfrac{\left( \log \left( -a+ib\right) \right) ^{2}}{i2b}-\dfrac{\left( \log \left( -a-ib\right) \right) ^{2}}{i2b}\right] \\&=\dfrac{\pi }{b}\left[ \log \left( -a+ib\right) \right] ^{2}-\dfrac{\pi }{b}\left[ \log \left( -a-ib\right) \right] ^{2}\end{aligned}.

Supomos agora que a,b>0. Então

\begin{aligned}I &=\dfrac{\pi }{b}\left[ \log \left( \left\vert -a+ib\right\vert \right)+i\left( \pi -\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) \right) \right] ^{2} \\ &\quad-\dfrac{\pi }{b}\left[ \log \left( \left\vert -a-ib\right\vert \right) +i\left( \pi +\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) \right) \right] ^{2} \\ &=\dfrac{\pi }{b}\left[ \dfrac{1}{2}\log \left( a^{2}+b^{2}\right) +i\left( \pi -\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) \right) \right] ^{2} \\ &\quad-\dfrac{\pi }{b}\left[ \frac{1}{2}\log \left( a^{2}+b^{2}\right) +i\left( \pi +\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) \right) \right] ^{2} \\ &=\dfrac{4\pi ^{2}}{b}\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) -i\dfrac{2\pi }{b} \arctan \left( \frac{b}{a}\right) \log \left( a^{2}+b^{2}\right) \end{aligned}

visto que

\log\left( \left\vert -a+ib\right\vert \right) =\log\left( \left\vert -a-ib\right\vert \right) =\dfrac{1}{2}\log \left( a^{2}+b^{2}\right) .

Tomando a parte imaginária de I obtém-se (\ast) na forma

\text{Im }( I )=-4\pi \int_{0}^{\infty }\dfrac{\log r}{\left( r+a\right) ^{2}+b^{2} }\,dr=-\dfrac{2\pi }{b}\arctan \left( \dfrac{b}{a}\right) \log \left(a^{2}+b^{2}\right).

——

Prova de que \int_{\gamma _{R}}f,\int_{\gamma _{\varepsilon }}f\rightarrow 0. Se z é um qualquer ponto de \gamma _{R},

\begin{aligned}\left\vert f(z)\right\vert &=\dfrac{\left\vert \log z\right\vert ^{2}}{\left\vert \left( z+a\right) ^{2}+b^{2}\right\vert },\qquad z=R\,e^{i\theta },R>1,0<\theta <2\pi \\&\leq \dfrac{\left( \log R+2\pi \right) ^{2}}{\left\vert z+\left( -z_{1}\right) \right\vert \left\vert z+\left( -z_{2}\right) \right\vert }, \\ &\leq \dfrac{\left( \log R+2\pi \right) ^{2}}{\left\vert R-\sqrt{a^{2}+b^{2}} \right\vert ^{2}}\leq M_{R}\end{aligned}

em que

M_{R}=\dfrac{4\pi \log R+4\pi^{2}+\log ^{2}R}{R^{2}+\left( a^{2}+b^{2}\right) -2R\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

porque

\left\vert z+\left( -z_{1}\right) \right\vert \geq \left\vert R-\left\vert z_{1}\right\vert \right\vert ,\left\vert z+\left( -z_{2}\right) \right\vert \geq \left\vert R-\left\vert z_{2}\right\vert \right\vert ,\left\vert z_{1}\right\vert =\left\vert z_{2}\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Isto implica que

\begin{aligned}\left\vert \displaystyle\int_{\gamma _{R}}f(z)\,dz\right\vert &\leq M_{R}\times \,2\pi R\\&=\dfrac{4\pi \log R+4\pi ^{2}+\log ^{2}R}{R^{2}+\left( a^{2}+b^{2}\right)-2R\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\times \,2\pi R\longrightarrow 0\qquad \left(R\rightarrow \infty \right) .\end{aligned}

De maneira semelhante, se z é um ponto qualquer de \gamma _{\varepsilon }

\begin{aligned}\left\vert f(z)\right\vert &=\dfrac{\left\vert \log z\right\vert ^{2}}{\left\vert \left( z+a\right) ^{2}+b^{2}\right\vert },\qquad z=\varepsilon \,e^{i\theta },0<\varepsilon <1,0<\theta <2\pi \\&\leq \dfrac{\left( \log \varepsilon +2\pi \right) ^{2}}{\left\vert z+\left(-z_{1}\right) \right\vert \left\vert z+\left( -z_{2}\right) \right\vert } \\&\leq \dfrac{\left( \log \varepsilon +2\pi \right) ^{2}}{\left\vert\varepsilon -\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right\vert ^{2}}\leq M_{\varepsilon }, \end{aligned}

em que

M_{\varepsilon }=\dfrac{4\pi \log \varepsilon +4\pi ^{2}+\log ^{2}\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+\left( a^{2}+b^{2}\right) -2\varepsilon \sqrt{a^{2}+b^{2}}}

e

\begin{aligned}\left\vert\displaystyle\int_{\gamma _{\varepsilon }}f(z)\,dz\right\vert &\leq M_{\varepsilon }\times \,2\pi \varepsilon \qquad z=\rho \,e^{i\theta },\rho<1 \\&\leq \dfrac{4\pi \log \varepsilon +4\pi ^{2}+\log ^{2}\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+\left( a^{2}+b^{2}\right) -2\varepsilon \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\times \,2\pi \varepsilon \longrightarrow 0\qquad \left( \varepsilon \rightarrow 0\right) .\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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