Formulário

NOTAÇÃO

Fim de demonstração

$\blacksquare$ ou $\square$

Fim da resolução de um problema ou exemplo

$\blacktriangleleft$

Início da explicação de um exemplo

$\blacktriangleright$

Factorial de $n$

$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times \left( n-1\right) \times n$

Coeficiente binomial $\displaystyle\dbinom{n}{k}=^{n\!}C_{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k\right) !}=\dfrac{n\left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdots \left( n-k+1\right) }{k!}$

Parte inteira (maior inteiro menor ou igual a) de $x$

$\displaystyle\lfloor x \rfloor$

Divide ( $p$ divide $q$ ou $q$ é múltiplo de $p$ )

$\mid$ Exemplo: $p\mid q$

Somatório (uma soma com um número finito de parcelas)

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{m\leq i\leq n}a_{i}= a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n}$

Função trigonométrica seno de $x$

$\text{sen}\; x$ ou $\sin x$

Função trigonométrica tangente de $x$

$\text{tg}\; x$ ou $\tan x$

Função trigonométrica inversa arco seno de $x$

$\text{arcsen}\; x$ ou $\arcsin x$

Função trigonométrica inversa arco tangente de $x$

$\text{arctg}\; x$ ou $\arctan x$

Inclusão (elemento de, pertence); exemplo: $x$ é real

$x\in\mathbb{R}$

Diferença entre; exemplos:

$F\left( x\right) |_{a}^{b}=F\left( b\right) -F\left( a\right)$ ou $\left[ F(x)\right] _{a}^{b}=F\left( b\right) -F\left( a\right)$

$a_{i}|_{m}^{n}=a_{n}-a_{m}$

Limites; exemplos:

$\displaystyle\lim_{x \to a}f (x)$

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n$

Integral (ou Primitiva)

$\displaystyle\int$ ou $P$

Norma da função real $f(x)$

$||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=(f\cdot f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}$ .

Produto interno de duas funções complexas $f,g$

$(f,\overline{g})=(f\cdot\overline{g})=\displaystyle\int_I f(x)\overline{g(x)}\;dx$

Norma da função complexa $f$

$||f||=(f,\overline{f})=(f\cdot\overline{f})=\displaystyle\int_I f(x)\overline{f(x)}\;dx$

Transformada de Laplace da função $F(t)$

$\mathcal{L}\left\{ F\left( t\right) \right\} =\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-st}F\left( t\right)\;dt$

Valoração $p$ -ádica de $n$

$v_{p}(n)$

Fracções contínuas

A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

$b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},$

pelos elementos $a_n,b_n$ , é uma expressão do tipo

$\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)$

$=b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}$ .

FORMULÁRIO

Equações cúbicas, Equações quárticas, Formulário do 9.º ano, Formulário do 12.º ano, Trigonometria, Derivadas, Primitivas imediatas, Matemática discreta, Teoria dos números e Métodos numéricos.

Equações cúbicas

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad$ com $a\neq 0$

Equação cúbica reduzida:

$t^{3}+pt+q=0\qquad$

cujos coeficientes são:

$p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}\qquad$

$q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}$

Discriminante:

$\Delta =q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}$

Uma solução da equação reduzida é:

$t_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}$

As três soluções da equação em $x$ são:

$x_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}$

$x_{2}=-\dfrac{t_{1}}{2}+\sqrt{\dfrac{t_{1}^{2}}{4}+\dfrac{q}{t_{1}}}-\dfrac{b}{3a}$

$x_{3}=-\dfrac{t_{1}}{2}-\sqrt{\dfrac{t_{1}^{2}}{4}+\dfrac{q}{t_{1}}}-\dfrac{b}{3a}$

No caso do discriminante ser negativo, $p<0$ , as soluções da equação são

$x_{1}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) \right) -\dfrac{b}{3a}$

$x_{2}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) -\dfrac{b}{3a}$

$x_{3}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) -\dfrac{b}{3a}$

Equações quárticas

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad$ com $a\neq 0$

equação reduzida

$y^{4}+Ay^{2}+By+C=0\qquad$

sendo os seus coeficientes dados por

$A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}$

$B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}$

$C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}$

As soluções da equação são:

$x_{1}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}$

$x_{2}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}$

$x_{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}$

$x_{4}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}$

em que $s$ é uma solução da equação cúbica auxiliar:

$8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0$

Do 9.º ano

Do 12.º ano

Trigonometria

$2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)$

$\tan \dfrac{\theta }{2}=\dfrac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$

$\arctan\left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arcsin u$ .

$\arctan \left( x\right) =\arcsin \left( \sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}}\right)$

$\arctan\left( \dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta }\right) =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta\right)$

Fórmula de Herão: a área $S$ de um triângulo conhecido o seu semi-perímetro $p$ e o comprimento dos lados $a,b$ e $c$ :

$S=\displaystyle\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Derivadas

De FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

Mais derivadas

$\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }(t)+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }(t)$

$\left( \dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\left( \dfrac{\partial z}{\partial x}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left( \dfrac{dx}{dt}\right) _{t_{0}}+\left( \dfrac{\partial z}{\partial y}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left( \dfrac{dy}{dt}\right) _{t_{0}}$

$\left( x^{x}\right) ^{\prime }=\left( 1+\ln x\right) x^{x}$

$\dfrac{d}{dt}\left( \displaystyle\int_{u(t)}^{v(t)}f\left( x,t\right) dx\right) =$

$=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime}\left( t\right)$

$\dfrac{d}{dt}\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx\right) =\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx$

Primitivas Imediatas

De AGUDO, Dias e SILVA, Cândido, Matemáticas Gerais, Cálculo Integral, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1965.

Matemática discreta

$\bigskip$

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=m}^{n}A_{i+1}-A_{i}=A_{n+1}-A_{m}$

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n-1}a_{i}=\sum_{i=m}^{n-1}A_{i+1}-A_{i}=A_{n}-A_{m}$

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=m}^{n}A_{i}-A_{i+1}=A_{m}-A_{n+1}$

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n-1}a_{i}=\sum_{i=m}^{n-1}A_{i}-A_{i+1}=A_{m}-A_{n}$

$\displaystyle\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}$

$\displaystyle\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{n}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dbinom{i}{1}+2\dbinom{i}{2}=\sum_{i=1}^{n}i^{2}$

$\displaystyle\sum_{i=r}^{n}\dbinom{i}{r}=\dbinom{n+1}{r+1}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i^{2}=\displaystyle\frac{\left( n+1\right) n\left( 2n+1\right) }{6}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i=\displaystyle\frac{n\left( n+1\right) }{2}$

$\displaystyle\sum_{i=n_{0}}^{n}\displaystyle\sum_{j=m_{0}}^{m}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=m_{0}}^{m}\displaystyle\sum_{i=n_{0}}^{n}a_{ij}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{i=0}^{n}a_{ij}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{j}a_{ij}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\sum_{j=0}^{i}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{ij}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^{2}\dbinom{n+k}{k}^{2}.$

Teoria dos Números

Expoente do número primo $p$ na decomposição em números primos de $n!$ :

$\displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{p^i}\right\rfloor$

Dilogaritmo e função zeta $\zeta(n)$

$Li_{2}\left( 1\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{2}}=\zeta \left( 2\right) =\dfrac{\pi ^{2}}{6}$

$Li_{2}\left( x\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{x^{k}}{k^{2}}$

$Li_{2}\left( -1\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{2}}=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k^{2}}=-\dfrac{1}{2}\zeta \left( 2\right) =-\dfrac{\pi ^{2}}{12}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k^{n}}=\zeta \left( n\right) \left( 1-2^{1-n}\right)$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k^{2}}=\dfrac{1}{2}\zeta\left( 2\right)$

Valoração $p$ -ádica de $\left( \dbinom{n}{k}\right)$

$v_{p}\left( \dbinom{n}{k}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor \log_{p}(n)\right\rfloor }\underset{0\text{ ou }1}{\underbrace{\left( \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) }}\leq\left\lfloor \log _{p}(n)\right\rfloor$

Constante de Apéry

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}.$

Série de Euler do Problema de Basileia

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}=\displaystyle\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1}\dfrac{d\tau }{1-t\tau }\right) \;dt=\dfrac{\pi ^{2}}{6}$ .

Métodos Numéricos

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Em geral, para o inteiro $i=2,3,4\ldots$ obtemos, por este método, a aproximação

$x_{i+1}=x_{i}-f\left( x_{i}\right) \times\dfrac{x_{i}-x_{i-1}}{f\left( x_{i}\right) -f\left( x_{i-1}\right) }$

Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear

Em geral, para o inteiro $i=1,2,3,\ldots$ obtemos, por este método, a aproximação

$x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }$

5 respostas a Formulário

Binca diz:

26 de Novembro de 2010 às 00:55

Gostaria de saber como integrar por partes $\log {}$ neperiano com funcoes dentro , exemplo integral de $\ln (2x+1)dx$
Se usa substituicao ou partes? ou os dois?
Obrigada

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  26 de Novembro de 2010 às 10:46
  
  O integral do logaritmo obtém-se pelo método de integração por partes
  
  $\displaystyle\int u^{\prime }(x)v(x)dx=u(x)v(x)-\int u(x)v^{\prime }(x)dx$
  
  $\displaystyle\int \ln xdx=\displaystyle\int 1\times \ln xdx=x\ln x-\displaystyle\int x\dfrac{1}{x}dx$
  
  $=x\ln x-x=(\ln x-1)x$
  
  No seu exemplo
  
  $\displaystyle\int \ln \left( 2x+1\right) dx$
  
  se fizer a substituição $t=2x+1$ , visto que $\dfrac{dt}{dx}=2$ , logo $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{2}$ , vem
  
  $\displaystyle\int \ln \left( 2x+1\right) dx=\int \ln \left( t\right) \dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \ln tdt$
  $=\dfrac{1}{2}(\ln t-1)t=\dfrac{1}{2}(\ln \left( 2x+1\right) -1)\left( 2x+1\right)$
Junior diz:

19 de Agosto de 2011 às 17:40

Olá boa tarde. Sei que é chato mas, vim aqui no seu blog pedir parceria, pois acredito que com parceria os dois sites podem se beneficiar.
Estou propondo uma troca de link.. para o meu site http://oscursosonline.com -> Cursos online Grátis EAD
Caso você aceite pode colocar o link no seu site e nos avisar… que faremos o mesmo o mais rápido possível… no e-mail:parceria@oscursosonline.com
Caso não aceite, pedimos desculpas pelo incômodo.

Responder
Pedro diz:

22 de Junho de 2013 às 13:00

Caro Américo Tavares, na equação de 3º Grau vejo um erro, onde em vez de -q/2 aparece q/2

Deveria ser: $\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\frac{\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\frac{\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}} - \frac{b}{3a}$

Em vez de $\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\frac{\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\frac{\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}} - \frac{b}{3a}$

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  22 de Junho de 2013 às 18:03
  
  Obrigado, corrigido.

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