Jacobiano

O jacobiano, cujo nome deriva de Carl Jacobi, matemático alemão do séc. XIX,  aparece no cálculo de derivadas parciais de sistemas de funções implícitas, como o descrito a seguir,  adaptado desta minha resposta, no MSE, e que o actual cabeçalho deste blogue pretende representar.

Suponhamos que temos simultaneamente duas funções implícitas diferenciáveis

\left\{\begin{array}{c}F(x,y,z,u,v)=0 \\\\G(x,y,z,u,v)=0\end{array}\right.

e duas funções, igualmente diferenciáveis, u=f(x,y,z) e v=g(x,y,z) tais que

\left\{\begin{array}{c}F(x,y,z,f(x,y,z),g(x,y,z))\equiv 0 \\\\G(x,y,z,f(x,y,z),g(x,y,z))\equiv 0\end{array}\right.

Diferenciando F e G em ordem a x, obtemos o sistema

\left\{ \begin{array}{c}\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x} =0 \\\\\dfrac{\partial G}{\partial x}+\dfrac{\partial G}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial G}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=0\end{array}\right. ,

que resolvido nos dá as derivadas parciais \partial u/\partial x e \partial v/\partial x; para a primeira destas, vem

\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{\det \begin{pmatrix}\partial F/\partial x & & \partial F/\partial v \\& & \\ \partial G/\partial x & & \partial G/\partial v\end{pmatrix}}{\det \begin{pmatrix}\partial F/\partial u & & \partial F/\partial v \\& & \\\partial G/\partial u & & \partial G/\partial v\end{pmatrix}};

e, analogamente para segunda. Em notação compacta, o denominador escreve-se

\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\det\begin{pmatrix}\dfrac{\partial F}{\partial u} & & \dfrac{\partial F}{\partial v} \\& & \\\dfrac{\partial G}{\partial u} & & \dfrac{\partial G}{\partial v}\end{pmatrix};

e de forma parecida, o numerador. Nesta notação é então

\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}}{\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}},

em que \partial (F,G)/\partial (x,y),\partial (F,G)/\partial(u,v) são  determinantes jacobianos.

Se diferenciássemos em ordem a y, obteríamos as derivadas parciais \partial u/\partial y\partial v/\partial y, e em ordem a z, \partial u/\partial z\partial v/\partial z.

O jacobiano de uma transformação de coordenadas, como nesta surpreendente, de Beukers, Calabi e Kolk

\left\{ \begin{array}{c}x=\dfrac{\sin u}{\cos v}\\\\y=\dfrac{\sin v}{\cos u},\end{array}\right.

que converte o quadrado 0<x<1 e 0<y<1 no triângulo u,v>0,u+v<\pi /2 (em Proofs from the BOOK  de M. Aigner and G. Ziegler), indica, em valor absoluto, a maneira como a área  é  locamente distorcida pela  transformação.  Neste caso chega-se a

\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1-x^2y^{2}.

É esse valor absoluto do jacobiano de uma transformação de coordenadas  que é usado para fazer a conversão de integrais múltiplos de um sistema de coordenadas noutro, como  das cartesianas para as polares, esféricas e cilíndricas.  Em \mathbb{R}^2 dá-nos o aumento ou redução do elemento de área, em \mathbb{R}^3,  de volume.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Jacobiano

  1. Renan Abdalla diz:

    Me ajudou a entender este belíssimo teorema!

  2. Julie Verganza diz:

    Só posso mesmo lhe agradecer. Estava com dúvida e agora relembrei…

  3. Ítalo diz:

    É uma bela introdução! Tão logo, Aprofundar-me-ei neste assunto.
    Saudações de Brasil.

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