Jacobiano

O jacobiano, cujo nome deriva de Carl Jacobi, matemático alemão do séc. XIX,  aparece no cálculo de derivadas parciais de sistemas de funções implícitas, como o descrito a seguir,  adaptado desta minha resposta, no MSE, e que o actual cabeçalho deste blogue pretende representar.

Suponhamos que temos simultaneamente duas funções implícitas diferenciáveis

e duas funções, igualmente diferenciáveis, e tais que

Diferenciando e em ordem a , obtemos o sistema

que resolvido nos dá as derivadas parciais e ; para a primeira destas, vem

e, analogamente para segunda. Em notação compacta, o denominador escreve-se

e de forma parecida, o numerador. Nesta notação é então

em que são  determinantes jacobianos.

Se diferenciássemos em ordem a , obteríamos as derivadas parciais e , e em ordem a , e  .

O jacobiano de uma transformação de coordenadas, como nesta surpreendente, de Beukers, Calabi e Kolk

que converte o quadrado e no triângulo (em Proofs from the BOOK  de M. Aigner and G. Ziegler), indica, em valor absoluto, a maneira como a área  é  locamente distorcida pela  transformação.  Neste caso chega-se a

É esse valor absoluto do jacobiano de uma transformação de coordenadas  que é usado para fazer a conversão de integrais múltiplos de um sistema de coordenadas noutro, como  das cartesianas para as polares, esféricas e cilíndricas.  Em dá-nos o aumento ou redução do elemento de área, em ,  de volume.