J.P. Serre: Galois Group (Case Abelian)

Pela Blogosfera — Conferência de Serre sobre Grupos de Galois abelianos, no Instituto Poincaré, na Jornada especial do bicentenário do nascimento de Galois.

Math Online Tom Circle

(French) Groupes de Galois, le cas abélien

Jean Pierre Serre
♢ Youngest Fields Medalist in history at 27.
♢ Wolf Prize in 2000
♢ 1st person to win Abel Prize in 2003.

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Aplicação do teorema das raízes racionais de polinómios

Um leitor colocou num comentário recente o seguinte

Problema:

« O produto de 3 números positivos e consecutivos é igual a 8 vezes a sua soma. A soma dos quadrados desses 3 números será igual a quanto? »

Comentário:

Na resolução que publiquei neste comentário e que reproduzo mais abaixo, apliquei o teorema das raízes racionais que diz que se um polinómio de grau n

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}\dots+a_1x+a_0

tiver a raiz racional p/q  (escrita na forma irredutível), então p é um divisor de a_0 e q é um divisor de a_n. Como caso particular, se a_n=1, então as únicas raízes racionais de P(x), a existirem, deverão ser inteiros divisores de a_0.

Resolução:

x(x+1)(x+2)=8(x+(x+1)+(x+2))

é equivalente a

x^3+3x^2-22x-24=0.

Pelo teorema das raízes racionais as únicas raízes inteiras positivas possíveis serão os divisores positivos de -(-24)=24. Destes apenas x=4 é raiz. Logo a soma pedida é 4^2+5^2+6^2=77.

* * *

P.S. 31-08-2015: na resolução anterior a incógnita x representa o número mais pequeno. Desenvolvo agora, reescrevendo-a, a resolução mais simples que me foi sugerida (ver este comentário).

Resolução alternativa: se x representar agora o número intermédio, a nova equação passará a ser

(x-1)x(x+1)=8((x-1)+x+(x+1))

que simplificada fica

x^{3}-x=24x

pois nenhum dos membros tem termo independente, em resultado da sua simetria em relação a x. Logo

x(x^{2}-25)=0

Como x>0, a solução desta equação que satisfaz o enunciado é x=5. O resultado é como acima

(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=4^2+5^2+6^2=77

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Fórmula de Cardano e intuição

Relativamente às raízes do polinómio cúbico

f(x)=x^3+bx+c

Holdsworth88 colocou uma questão antiga, no MSE, Question Regarding Cardano’s Formula, em que pergunta se há uma explicação intuitiva para a separação da variável x na soma de u e v.

Tradução da minha resposta:

Cardano sabia que qualquer equação quadrática da forma

x^2+bx+c=0\qquad(1)

se pode escrever como

x^2-(u+v)x+uv=0\qquad(2)

em que uv são as raízes da equação. Visto que fazendo t=u+v na equação cúbica reduzida

t^3+pt+q=0\qquad(3)

se obtém

(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v)=0\qquad(4)

então qualquer raiz do sistema

u^3+v^3+q=0\qquad(5a)

3uv+p=0\qquad(5b)

é igualmente uma raiz de (4), e, com base na propriedade da equação quadrática indicada em (2), é agora fácil achar a fórmula de t que satisfaça a equação (3).

Necessitamos apenas de determinar dois números u^3v^3 cuja soma seja -q e o produto, -p^3/27, que sabemos de (1)-(2) são as raízes da equação quadrática

Y^2+qY-\dfrac{p^3}{27}=0.\qquad(6)

Por conseguinte,

t=u+v=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}.

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Calculus Camp

Esta galeria contém 8 imagens.

Publicado originalmente em Teaching Calculus:
Today I welcome a guest blogger. Robert Vriesman writes about his Calculus Camp. The annual camp is a great review technique. I was honored to be invited this year and had a great time helping…

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Divulgação: o site Portuguese Language do Stack Exchange

PLscreenshot20150720

O site de perguntas & respostas  Portuguese Language do Stack Exchange já foi criado, encontrando-se na chamada fase beta privada. Se o quiser visitar, o link é este. Um resumo com os indicadores principais pode ser visto aqui.

PS. 28-07-2015 Desde hoje em fase beta pública.

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Dois desenvolvimentos em série de Laurent

Na questão Finding the Laurent series of f(z)=1/((z-1)(z-2)), Freeman perguntou como se determina a série de Laurent da função

f(z)=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}

em R_1=\{z: 1<|z|<2\} e R_2=\{z:|z|>2\}.

Tradução da minha resposta:

A função f(z) pode desenvolver-se em duas fracções parciais

f(z):=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1}.

Vamos desenvolver agora cada fracção numa série geométrica. Em R_{2} estas séries são:

\begin{aligned}\frac{1}{z-2}&=\frac{1}{z\left( 1-2/z\right) }=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }\left( \frac{2}{z}\right)^{n}\qquad\left\vert  z\right\vert >2\\[2ex]&=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}\frac{1}{z^{n+1}}\end{aligned}

e

\begin{aligned}\frac{1}{z-1}&=\frac{1}{z\left( 1-1/z\right) } \\[2ex]  &=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }\left( \frac{1}{z}\right)  ^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}\qquad \left\vert z\right\vert >1.  \end{aligned}

Assim, a série de Laurent será

\dfrac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}(2^{n}-1)\qquad \left\vert z\right\vert >2>1.

E em R_{1} as duas séries geométricas são

\begin{aligned}  \frac{1}{z-2} &=\frac{-1/2}{1-z/2}=\sum_{n=0}^{\infty }\left( -\frac{1}{2}  \right) \left( \frac{z}{2}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert <2 \\[2ex]  &=\sum_{n=0}^{\infty }-\frac{1}{2^{n+1}}z^{n}  \end{aligned}

e

\begin{aligned}  \frac{1}{z-1} &=\frac{1/z}{1-1/z}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z}\left(  \frac{1}{z}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert >1 \\[2ex]  &=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}.  \end{aligned}

Obtemos, portanto, a seguinte série de Laurent:

\dfrac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\left( -  \dfrac{1}{2^{n+1}}z^{n}-\dfrac{1}{z^{n+1}}\right) \qquad 1<\left\vert  z\right\vert <2.

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Diofanto, o impulsionador da álgebra

A propósito de Diofanto, um problema de Matemática do Básico com um enunciado bem construído.

perspectivas

diofantoDiofanto, que viveu em Alexandria no século III d.C., foi o impulsionador da álgebra. Sabe-se muito pouco da sua vida, excepto que:

  • passou 1/6 da sua vida como criança;
  • passou 1/12 da sua vida como adolescente;
  • viveu mais 7 anos (depois da adolescência) antes de ter um filho que viveu metade do tempo de vida do pai;
  • Diofanto, depois da morte do filho, sobreviveu mais 1/6 do seu (de Diofanto) tempo total de vida.

¿Quantos anos viveu Diofanto?

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Demonstração de que n^4 + 4, n>5, é composto

Na questão Prove a number is composite , Chan perguntou, no Mathematics Stack Exchange (MSE), como se pode demonstrar que

n^4 + 4

é um número composto para todos os n>5.

Tradução da minha resposta:

Pode-se factorizar algebricamente n^{4}+4, encontrando, primeiro, as quatro raízes de n^{4}+4=0.

Como n^{4}+4=0\Leftrightarrow n^{4}=4e^{i\pi }, tem-se

\begin{aligned}n&=4^{1/4}e^{i (\pi +2k\pi)/4}\quad k=0,1,2,3\\  &&\\n&=\sqrt{2}e^{i\pi /4 }=1+i\quad\left( k=0\right)\\[2ex]n&=\sqrt{2}e^{i 3\pi /4 }=-1+i\quad\left( k=1\right)\\[2ex]n&=\sqrt{2}e^{i 5\pi/4 }=-1-i\quad\left( k=2\right)\\[2ex]n&=\sqrt{2}e^{i 7\pi/4}=1-i\quad\left( k=3\right).\end{aligned}

Combinando, agora, os factores complexos conjugados, obtém-se:

\begin{aligned}n^{4}+4&=\left( n-1-i\right) \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right)\left( n-1+i\right)\\[2ex]&=\left( \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right) \right) \left( \left(n-1-i\right) \left( n-1+i\right) \right)\\[2ex]&=\left( n^{2}+2n+2\right) \left( n^{2}-2n+2\right).\end{aligned}

Nota: para n>1, n^2+2n+2>5 and n^2-2n+2>1.

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Um milhão e meio de visualizações

Foram atingidas hoje as 1 500 000 visualizações:

1.5Mvisualiz

Aproveito para republicar a minha entrada mais vista de sempre, com um total de um pouco mais de 200 000 visualizações, a

Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)

PeTeqcubica

 

A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição x=t+h:

a\left( t+h\right) ^{3}+b\left( t+h\right) ^{2}+c\left( t+h\right) +d=0

at^{3}+\left( b+3ah\right) t^{2}+\left( c+2bh+3ah^{2}\right) t+d+ch+ah^{3}+bh^{2}=0

Dividindo por a e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de t, obtemos — se escolhermos h=-\dfrac{b}{3a}

x=t-\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 2\right)

— uma nova equação cúbica (em t) à qual falta o termo do 2.º grau:

t^{3}+pt+q=0\qquad \left( 3\right)

cujos coeficientes são:

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}\qquad \left( 4\right)

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}\qquad\left( 5\right)

Se exprimirmos a variável t na soma de duas outras  Continuar a ler

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Exercício sobre séries de Fourier — uma função periódica constante por secções

Exercício:

Seja x(t) uma função periódica definida em toda a recta real, com período T=4 e cuja restrição no intervalo [-2,2[ se pode escrever da seguinte forma:

x(t)|_{[-2,2[}=\left\{\begin{array}{l}3,\qquad\text{se}\quad-2\leq t<-1,\\ 0,\qquad\text{se }\quad-1\leq t<1,\\ 1,\qquad\text{se}\qquad1\leq t<2.\end{array}\right.

Determine a série trigonométrica de Fourier de x(t).

Resolução:

Os coeficientes a_n, b_n  da série trigonométrica de Fourier de x(t)

\displaystyle{\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos \frac{n\pi t}{T/2}+b_{n}\sin \frac{n\pi t}{T/2}\right)}

são dados pelos seguintes integrais:

\begin{aligned}a_{0}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)dt\\[2ex]a_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\cos \frac{n\pi t}{T/2}dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)\cos \frac{n\pi t}{2}dt,\qquad n\geq 1 \\[2ex]b_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin \frac{n\pi t}{T/2}dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)\sin \frac{n\pi t}{2}dt,\qquad n\geq 1.\end{aligned}

Devido à forma do gráfico de x(t) (ver gráfico a azul abaixo, para t\in[-2,2[) é natural decompor cada integral em três, \left(\int_{-2}^{2}\int_{-2}^{-1}+\int_{-1}^{1}+\int_{1}^{2}\right). Chega-se a

\begin{aligned}a_{0} &=2\\[2ex]a_{n} &=\frac{4}{n\pi }\left( \sin n\pi -\sin\frac{n\pi }{2}\right) =-\frac{4}{n\pi }\sin\frac{n\pi }{2}\\[2ex]  b_{n} &=\frac{2}{n\pi }\left( \cos n\pi -\cos\frac{n\pi }{2}\right) =\frac{  2}{n\pi }\left( \left( -1\right)^{n}-\cos\frac{n\pi }{2}\right) .\end{aligned}

Assim, o desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de x(t) será:

\displaystyle{x(t)\sim 1+\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{4}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{2}\cos \frac{n\pi t}{2}+\frac{2}{n\pi }\left( \left( -1\right) ^{n}-\cos \frac{n\pi }{2}\right) \sin \frac{n\pi t}{2}\right)}.

TFSofdiscontinuousfunction

Legenda: azul: x(t)\, \text{ em } -2\le t<2;

verde: soma parcial de quinta ordem da série trigonométrica de Fourier de  x(t) em -5\le t< 5.

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