Transformação de um radical duplo na soma de dois simples. O matemático José Sebastião e Silva

Álgebra 7.º liceu

Álgebra 7.º liceu

Na obra de Sebastião e Silva incluem-se livros escolares do liceu: de Matemática “clássica”, os Compêndios de Álgebra para o 6.º e 7.º anos (em colaboração com J. da Silva Paulo),  Geometria Analítica,  para o 7.º ano; de Matemática “moderna”,  o Compêndio de Matemática I, II e III e respectivos Guias (Texto-piloto segundo o projecto executado pelo Ministério da Educação Nacional em cooperação com a O.C.D.E.).

Estes últimos serviram para apoiar os professores e alunos das turmas piloto que seguiram, em finais de 1960 e princípios de 1970,  um programa inovador, por ele concebido, considerado de nível internacional.

Eu segui o programa antigo e só contactei com o primeiro livro de Sebastião e Silva de Matemática “moderna”, já no início do meu primeiro ano do Técnico, para aprender melhor uma breve introdução à Lógica que iniciava as Matemáticas Gerais, em 68/69, do Prof. Campos Ferreira, um dos seus seguidores.

Sempre achei a exposição dos seus livros excelente e, ao mesmo tempo, cativadora e rigorosa. Foi à Álgebra do meu 7.º ano (pp.141-144) que recorri para relembrar uma transformação de um radical duplo na soma de dois simples, que é enunciada sob a forma do seguinte problema:

« Dados dois números racionais positivos A e B, não sendo B um quadrado perfeito, determinar dois números racionais positivos x e y tais que

\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y}

Comecemos pelo caso

\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}

(…)

Esses números [x e y] são (…) as raízes da equação

X^2-AX+\dfrac{B}{4}=0

as quais são dadas pelas expressões:

\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}\qquad\text{e}\qquad\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}.

Podemos agora escolher um destes dois valores para x; o outro será o correspondente valor de y. Como x e y devem ser racionais , sem o que a decomposição , que se pretende, deixa de existir, é necessário que A^2-B seja um quadrado perfeito. (…) se pusermos \sqrt{A^2-B}=C, será C um número racional e o mesmo se poderá dizer dos números

\dfrac{A+C}{2}\qquad\text{e}\qquad\dfrac{A-C}{2}

que são as soluções da equação. (…)

Consideremos agora o caso  

\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}

(…) O valor de x deverá, aqui, ser \dfrac{A+C}{2} para que a diferença

\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{\dfrac{A+C}{2}}-\sqrt{\dfrac{A-C}{2}}

resulte positiva, visto ser positivo o radical \sqrt{A-\sqrt{B}} que lhe é igual.  »

Este resultado permitiu-me facilmente chegar à solução do problema publicado nesta minha entrada, como expliquei aqui.

Actualização de 20-12-2009: acrescentada figura do livro e referidas as páginas onde a transformação é tratada.

Adenda de 23-5-2011: Em comentário abaixo andreelopess indica a sequinte igualdade 

\dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}+\dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}\qquad (\ast)

que, por racionalização de denominadores, se transforma em

\sqrt{7+2\sqrt{10}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{11+2\sqrt{30}}\qquad (\ast\ast)

Aplicando o método exposto conclui-se que

\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}

\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}

\sqrt{11+2\sqrt{30}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}

pelo que efectivamente se tem (\ast\ast). Depois de cálculos fastidiosos concluo  ser equivalente a

\left( 2+\sqrt{2}\sqrt{5}+2\sqrt{14-7\sqrt{3}+4\sqrt{2}\sqrt{5}-2\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{5}}-2\sqrt{3}\right) ^{2}=30

que confrontei com o resultado em Wolfram Alpha: aqui

Adenda de 24-5-2011: Como escrevo em baixo Sem utilizar o método exposto no post é fácil não digo encontrar, mas justificar as relações numéricas, depois de conhecida a decomposição. Basta elevar ao quadrado ambos os membros.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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21 respostas a Transformação de um radical duplo na soma de dois simples. O matemático José Sebastião e Silva

  1. Cezar Rogerio da Silva diz:

    Muito bom o resultado, contudo, o que poderia ser feito no caso do radcal mais externo ser cúbico?

    Um abraço

    CEZAR

  2. Cezar Rogerio da Silva diz:

    Ok

    x = Raiz cubica de (3 + raiz quadrada de (9 + 125/27) ) – Raiz cubica de (-3 + Raiz quadrada de (9 + 125/27) ) .

    Observe que a Raiz cubica cobre todo o parentese externo, consequentemente o parentese interno também.

    Ainda não consegui enxergar a solução.
    Esse tipo de exercício caí com grande frequência no IME.
    De que livro eles tiram isso, pois não temos literatura em lingua portuguesa sobre esse assunto. Talvez consiga pensar em alguma coisa que possa gerenalizar esse tipo de exercício.

    Um abraço

    CEZAR

    • Caro Cezar

      Reescrevo o número x na forma

      x=\sqrt[3]{-\dfrac{\left( -6\right)}{2}+\sqrt{\dfrac{\left( -6\right) ^{2}}{4}+\dfrac{5^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{\left( -6\right)}{2}-\sqrt{\dfrac{\left( -6\right) ^{2}}{4}+\dfrac{5^{3}}{27}}}

      Comparando-o com a fórmula resolvente de Ferro-Tartaglia-Cardano da equação cúbica reduzida x^{3}+px+q=0,

      x=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}

      vê-se que ele é a raíz x=1 da equação x^{3}+5x-6=0, que só tem uma solução real, como resulta da factorização x^{3}+5x-6=\left( x^{2}+x+6\right) (x-1).

  3. Olá Tavares. Venho aqui lhe convidar para associar o seu blog a União dos Blogs de Matemática (UBM). Este é um blog diferente, funciona como um catálogo dos blogs que divulgam matemática. Para ser um filiado, você tem que adicionar um selo em seu blog a sua escolha e que se encontra no site da UBM, ser um seguidor da UBM e fazer uma postagem de divulgação sobre sua filiação. Faça uma visita

    http://ubmatematica.blogspot.com/

    Será uma grande satisfação ter o seu blog conosco.

    Prof. Paulo Sérgio
    Prof. Kleber Khillian
    Autores da UBM

    • Olá Prof. Sérgio e Prof. Khillian

      Agradeço muito o convite. Do pouco que já vi, fiquei com a ideia de que a UBM reune contribuições de bastante qualidade. Por isso daqui lhes envio os meus parabéns pela vossa iniciativa. Desculpem a demora desta minha primeira reacção.

      Muitos cumprimentos

  4. eduardo diz:

    a matematica pode ser boa para algumas coisas (+ se formos contar mt gente só usa a matematica simplesmente para coisas razoaveis quem na vida vai usar a radiciação , só os malucos….)
    eu tô tendo que aprender isso para depois esquecer e nunca mais na vida usar
    :@

  5. andreelopess @gmail.com diz:

    Desculpa por não comentar a questao…Mas peço encarecidamente que me ajudem a resolver esta:
    mostre que 3/raiz[7-2.raiz(10)] + 4/raiz[8+4.raiz(3)] = 1/raiz[11-2.raiz(30)]

    [Conversão da expressão numérica para \LaTeX:

    \dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}+\dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}

    ] AT

    • O que já tentou fazer?

      PS. Racionalizando denominadores, como, por exemplo,

      \dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}=\dfrac{3\sqrt{7+2\sqrt{10}}}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}\sqrt{7+2\sqrt{10}}}=\sqrt{7+2\sqrt{10}}

      tem-se:

      \sqrt{7+2\sqrt{10}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{11+2\sqrt{30}}

      PS. 23-5-2011: depois de cálculos fastidiosos concluo que esta igualdade é equivalente a

      \left( 2+\sqrt{2}\sqrt{5}+2\sqrt{14-7\sqrt{3}+4\sqrt{2}\sqrt{5}-2\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{5}}-2\sqrt{3}\right) ^{2}=30

      que confrontei com o resultado em Wolfram Alpha: aqui

      E aplicando o método exposto conclui-se que

      \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}

      \sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}

      \sqrt{11+2\sqrt{30}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}

      pelo que

      \sqrt{7+2\sqrt{10}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{5}+\sqrt{6}=\sqrt{11+2\sqrt{30}}

    • Sem utilizar o método exposto no post é fácil não digo encontrar, mas justificar as relações numéricas, depois de conhecida a decomposição. Basta elevar ao quadrado ambos os membros:

      Para \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}, vem 7+2\sqrt{10}=5+2+2\sqrt{10};

      para \sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}, 8-4\sqrt{3}=6-2-2\sqrt{12};

      e para \sqrt{11+2\sqrt{30}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}, 11+2\sqrt{30}=6+5+2\sqrt{30}.

  6. Amandha diz:

    Como calcular [Raiz de t+ raiz de (t+ raiz de t)] dividido por Raiz de ( t+1). Obs: o que está entre parenteses e do coxete significa q estão dentro da mesma raiz. No numerador tem 3 raizes quadradras. Essa questão está quase impossivel pra mim me ajudem por favor.

  7. Amandha diz:

    é o segundo caso, já tentei por racionalização, mas nao consegui chegar na resposta. Ja fiz o conjugado, mas nada de dar certo.

  8. Amandha diz:

    isso é limite quando t tende a +infinito

  9. annajordao diz:

    me ajuda …transforme em soma de radicais simples os radicais duplos:
    raiz quadrada de 5 + raiz quadrada de 24

  10. Jerferson dos Santos Silva diz:

    Ola, eu sou bem leigo…. mas eu vim em busca de entender de onde surgiu a formula para calcular radicais duplos ….

    contudo, não entendi o porque que os radicais duplos são igual a raiz de x e raiz de y?
    e, de onde tira aquela formula, donde x e y são as raizes?
    Ps: eu percebi que é uma equação do 2 grau, contudo não entendi o porque de usar ela e nem o porque do B/4 …

    Me desculpa se caso só foi uma não compreensão minha, mas se puder responder, ficarei grato!

  11. Mayara Santos Lima diz:

    Gostei mais achei um pouco difícil,mais se deus quiser vo aprender.

  12. Mendonça André diz:

    Gostei e achei interessante. Mas tenho uma dúvida a respeito deste exercício de radical duplo (√2x+5+2√x²-2)-(√2x+125+2√x²-2)

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