Álgebra 7.º liceu
Na obra de Sebastião e Silva incluem-se livros escolares do liceu: de Matemática “clássica”, os Compêndios de Álgebra para o 6.º e 7.º anos (em colaboração com J. da Silva Paulo), Geometria Analítica, para o 7.º ano; de Matemática “moderna”, o Compêndio de Matemática I, II e III e respectivos Guias (Texto-piloto segundo o projecto executado pelo Ministério da Educação Nacional em cooperação com a O.C.D.E.).
Estes últimos serviram para apoiar os professores e alunos das turmas piloto que seguiram, em finais de 1960 e princípios de 1970, um programa inovador, por ele concebido, considerado de nível internacional.
Eu segui o programa antigo e só contactei com o primeiro livro de Sebastião e Silva de Matemática “moderna”, já no início do meu primeiro ano do Técnico, para aprender melhor uma breve introdução à Lógica que iniciava as Matemáticas Gerais, em 68/69, do Prof. Campos Ferreira, um dos seus seguidores.
Sempre achei a exposição dos seus livros excelente e, ao mesmo tempo, cativadora e rigorosa. Foi à Álgebra do meu 7.º ano (pp.141-144) que recorri para relembrar uma transformação de um radical duplo na soma de dois simples, que é enunciada sob a forma do seguinte problema:
« Dados dois números racionais positivos
e
, não sendo
e
tais que
Comecemos pelo caso
(…)
Esses números [
as quais são dadas pelas expressões:
.
Podemos agora escolher um destes dois valores para
seja um quadrado perfeito. (…) se pusermos
, será
um número racional e o mesmo se poderá dizer dos números
que são as soluções da equação. (…)
Consideremos agora o caso
(…) O valor de
para que a diferença
resulte positiva, visto ser positivo o radical
que lhe é igual. »
Este resultado permitiu-me facilmente chegar à solução do problema publicado nesta minha entrada, como expliquei aqui.
Actualização de 20-12-2009: acrescentada figura do livro e referidas as páginas onde a transformação é tratada.
Adenda de 23-5-2011: Em comentário abaixo andreelopess indica a sequinte igualdade
que, por racionalização de denominadores, se transforma em
Aplicando o método exposto conclui-se que
pelo que efectivamente se tem 
que confrontei com o resultado em Wolfram Alpha: aqui
Adenda de 24-5-2011: Como escrevo em baixo Sem utilizar o método exposto no post é fácil não digo encontrar, mas justificar as relações numéricas, depois de conhecida a decomposição. Basta elevar ao quadrado ambos os membros.
Problemas e Teoremas 
Muito bom o resultado, contudo, o que poderia ser feito no caso do radcal mais externo ser cúbico?
Um abraço
CEZAR
Obrigado. Julgo que não é generalizável, pelo menos nunca vi.
Ok
x = Raiz cubica de (3 + raiz quadrada de (9 + 125/27) ) – Raiz cubica de (-3 + Raiz quadrada de (9 + 125/27) ) .
Observe que a Raiz cubica cobre todo o parentese externo, consequentemente o parentese interno também.
Ainda não consegui enxergar a solução.
Esse tipo de exercício caí com grande frequência no IME.
De que livro eles tiram isso, pois não temos literatura em lingua portuguesa sobre esse assunto. Talvez consiga pensar em alguma coisa que possa gerenalizar esse tipo de exercício.
Um abraço
CEZAR
Caro Cezar
Reescrevo o número
na forma
Comparando-o com a fórmula resolvente de Ferro-Tartaglia-Cardano da equação cúbica reduzida
,
vê-se que ele é a raíz
da equação 
, que só tem uma solução real, como resulta da factorização 
.
Olá Tavares. Venho aqui lhe convidar para associar o seu blog a União dos Blogs de Matemática (UBM). Este é um blog diferente, funciona como um catálogo dos blogs que divulgam matemática. Para ser um filiado, você tem que adicionar um selo em seu blog a sua escolha e que se encontra no site da UBM, ser um seguidor da UBM e fazer uma postagem de divulgação sobre sua filiação. Faça uma visita
http://ubmatematica.blogspot.com/
Será uma grande satisfação ter o seu blog conosco.
Prof. Paulo Sérgio
Prof. Kleber Khillian
Autores da UBM
Olá Prof. Sérgio e Prof. Khillian
Agradeço muito o convite. Do pouco que já vi, fiquei com a ideia de que a UBM reune contribuições de bastante qualidade. Por isso daqui lhes envio os meus parabéns pela vossa iniciativa. Desculpem a demora desta minha primeira reacção.
Muitos cumprimentos
a matematica pode ser boa para algumas coisas (+ se formos contar mt gente só usa a matematica simplesmente para coisas razoaveis quem na vida vai usar a radiciação , só os malucos….)
eu tô tendo que aprender isso para depois esquecer e nunca mais na vida usar
:@
Penso que há mais coisas para além dos critérios utilitários e do pragmatismo. Não acha que, por exemplo, a poesia tem valor em si mesma?
Desculpa por não comentar a questao…Mas peço encarecidamente que me ajudem a resolver esta:
mostre que 3/raiz[7-2.raiz(10)] + 4/raiz[8+4.raiz(3)] = 1/raiz[11-2.raiz(30)]
[Conversão da expressão numérica para
:
] AT
O que já tentou fazer?
PS. Racionalizando denominadores, como, por exemplo,
tem-se:
PS. 23-5-2011: depois de cálculos fastidiosos concluo que esta igualdade é equivalente a
que confrontei com o resultado em Wolfram Alpha: aqui
E aplicando o método exposto conclui-se que
pelo que
Sem utilizar o método exposto no post é fácil não digo encontrar, mas justificar as relações numéricas, depois de conhecida a decomposição. Basta elevar ao quadrado ambos os membros:
Para
, vem 
;
para
, 
;
e para
, 
.
Como calcular [Raiz de t+ raiz de (t+ raiz de t)] dividido por Raiz de ( t+1). Obs: o que está entre parenteses e do coxete significa q estão dentro da mesma raiz. No numerador tem 3 raizes quadradras. Essa questão está quase impossivel pra mim me ajudem por favor.
Sua questão é
ou 
?
No caso podes começar racionalizando o denominador multiplicando denominador e numerador por
e, no segundo caso, terá: 
Pedro
é o segundo caso, já tentei por racionalização, mas nao consegui chegar na resposta. Ja fiz o conjugado, mas nada de dar certo.
isso é limite quando t tende a +infinito
me ajuda …transforme em soma de radicais simples os radicais duplos:
raiz quadrada de 5 + raiz quadrada de 24
Eleve ao quadrado
Logo
P.S. Mas se pretende decompor
na soma de
e 
, isto é, 
, pode utilizar os resultados do post
dois radicais simples
obtendo, portanto,
Ola, eu sou bem leigo…. mas eu vim em busca de entender de onde surgiu a formula para calcular radicais duplos ….
contudo, não entendi o porque que os radicais duplos são igual a raiz de x e raiz de y?
e, de onde tira aquela formula, donde x e y são as raizes?
Ps: eu percebi que é uma equação do 2 grau, contudo não entendi o porque de usar ela e nem o porque do B/4 …
Me desculpa se caso só foi uma não compreensão minha, mas se puder responder, ficarei grato!
Aceite sem demonstração, kkk eu tbem gosto de saber os porquês, mas como foi mostrado é muito difícil ficar elevando os números ao quadrado, a demonstração deve ser feia.
Gostei mais achei um pouco difícil,mais se deus quiser vo aprender.
Gostei e achei interessante. Mas tenho uma dúvida a respeito deste exercício de radical duplo (√2x+5+2√x²-2)-(√2x+125+2√x²-2)
agradeço muito. eu tinha me esquecido de como resolvia esses radicais..tanta baboseira no YouTube, valeu muito!