Livros de Exercícios de Palma Fernandes; exemplos do 2.º, 5.º e 7.º anos do Liceu

Estes livros de exercícios – os chamados por nós, na altura, Palma Fernandes – eram muito usados em Matemática, no liceu, na década de 60. São livros de exercícios resolvidos e por resolver, todos com respostas. Com mais de 200 páginas cada, para todos os sete anos do antigo liceu, quem os resolvesse a todos teria uma prática acumulada que superava os 10 000, incluindo os chamados Pontos de Revisão nos três anos com exame: 2.º, 5.º e 7.º.
Não substituíam os livros de Matemática normais, todos eles igualmente com muitos problemas e exercícios, mas complementavam-nos.
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Exemplos do antigo:
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  • 2.º ano do Liceu (1962, página 238)

« Escrever a expressão numérica correspondente ao problema:
Comprei duas dúzias de bananas a $60 cada. Apodereceram 4 bananas e, tendo vendido as restantes, ganhei ao todo 1$60.
Por quanto vendi cada banana?
Calcular o valor da expressão numérica. »

Resposta

[ ( 12 x 2 ) x $60 + 1$60 ] : ( 12 x 2 – 4 ) ; $80.

 

 

 

 Capas do  5.º ano

  • 5.º ano do Liceu (1964, página 182)

« Ponha em equação e resolva o seguinte problema:

Num número, compreendido entre 800 e 900, o quociente da divisão do algarismo das dezenas pelo das unidades é 4 e o resto 1. Determinar o número sabendo que excede em 18 unidades o produto da soma dos seus algarismos por 46. »

Resposta

Sistema de 2 equações:

x = 4 y + 1

800 + 10 x + y = 46 (8 + x + y ) + 18

892

  • 7.º ano do Liceu (1967, página 283)

« Um número admite como factores primos 3 e 5. Se o multiplicarmos por 12 o número de divisores aumenta de 21 e se o multiplicarmos por 15 aumenta de 6. Determinar o número. »

Resposta

75

Resolução

O número de divisores d(n) de um número inteiro n, cuja decomposição  em factores primos seja

n=p_{1}^{\alpha _{1}}\times p_{2}^{\alpha _{2}}\times\cdots\times p_{m}^{\alpha _{m}}

é dado por

d(n)=(\alpha _{1}+1)\times (\alpha _{2}+1)\times \cdots \times (\alpha_{m}+1)

Pelo enunciado vê-se que

n=3^{\alpha _{1}}\times 5^{\alpha _{2}}

donde

d(n)=(\alpha _{1}+1)\times (\alpha _{2}+1)

Por outro lado, sendo

12n=2^{2}\times 3\times n=2^{2}\times 3^{\alpha _{1}+1}\times 5^{\alpha_{2}}

tem-se

d(12n)=\left( 2+1\right) (\alpha _{1}+2)\times (\alpha_{2}+1)=d(n)+21=(\alpha _{1}+1)\times (\alpha _{2}+1)+21

e, como

15n=3\times 5\times n=3^{\alpha _{1}}\times 5^{\alpha _{2}}\times n=3^{\alpha _{1}+1}\times 5^{\alpha _{2}+1}

então

d(15n)=(\alpha _{1}+2)\times (\alpha _{2}+2)=d(n)+6=(\alpha _{1}+1)\times (\alpha _{2}+1)+6

Ficamos pois com o sistema

3(\alpha _{1}+2)\times (\alpha _{2}+1)=(\alpha _{1}+1)\times (\alpha_{2}+1)+21

(\alpha _{1}+2)\times (\alpha _{2}+2)=(\alpha _{1}+1)\times (\alpha_{2}+1)+6

que é  equivalente a

2\alpha _{1}^{2}-3\alpha _{1}+1=0

\alpha _{1}+\alpha _{2}-3=0

Excluíndo as soluções não inteiras, obtemos \alpha _{1}=1 e \alpha _{2}=2; e finalmente

n=3^{\alpha _{1}}\times 5^{\alpha _{2}}=3\times 5^{2}=75

Edição de 24-5-2009: acrescentados os exemplos do 5.º e 7.º ( publicados em entrada separada que foi suprimida).

Edição de 29-5-2009: acrescentada resolução do último exercício.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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8 respostas a Livros de Exercícios de Palma Fernandes; exemplos do 2.º, 5.º e 7.º anos do Liceu

  1. quero ser um professorzeco diz:

    Nasci em 68 mas estes livros estavam lá em casa à minha espera. De fio a pavio, até à engenharia e ao ensino da matemática no básico. Agora, estão já no quarto da herdeira, 6º ano. Sempre muito úteis.

  2. Ana Sá diz:

    E se experimentássemos propor tal coisa (problema dos factores primos e divisores que apresenta) a um aluno do 1º ano de qualquer Faculdade ???
    Ah, não era melhor a qualquer aluno de 12º, que aqui apareceria nas Estatísticas.
    Aliás não seria má ideia, em cada ano, fazer uma resenha de problemas propostos – de acordo com os Programas mas exercícios /problemas a sério, não contando para nota, mas apenas para publicação. É que fala-se muito em competências, desempenho, coisas assim, mas não se fala em conhecimento. E ainda alguém me há-de explicar como se pode ser competente e ter um bom desempenho em coisas de que não se sabe nada ou muito pouco…

    • Ana Sá,
      Quando na altura se estudavam estas matérias, este problema nem era muito difícil.
      Agora talvez seja digno das Olimpíadas Matemáticas.
      Também não entendo que se possa ser verdadeiramente competente sem dominar bem os conhecimentos. Ah! Já sei: manda-se nos que os têm.

    • Penso que o resultado não seria melhor do que o que aconteceu há cerca de cinco anos, quando os Professores de uma Universidade de Medicina portuguesa traduziram e adaptaram os testes de entrada nas boas Universidades americanas para os alunos já do 2.º e 3.º anos, salvo erro, fazerem. É que alunos que tinham entrado com resultados elevadíssimos, falharam muito nesses testes, pelo que a experiência morreu logo aí. Acabei de me referir a uma notícia que na altura foi publicada num jornal português. Julgo não errar em nada de significativo, no que acabo de escrever.

  3. rogelio diz:

    Professor Américo

    Favor me envien uma copia pdf ou outra destes livros

    Grato

    • Caro rogelio

      Estes livros já têm 40 anos ou mais: não se voltaram a reeditar e infelizmente não dão para digitalizar porque são grandes.

      Só tentando em algum alfarrabista, em Lisboa, Porto ou Coimbra.

      Grato também pela sua visita

      Américo
      (Nota: não sou professor)

  4. Se alguém puder digitalizar os livros do Palma Fernandes – não precisam de ser todos de uma vez, pode ser feito aos poucos – eu posso fazer um blog exclusivamente para os publicar

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