Puzzle trigonométrico :: Trigonometric Puzzle

Sejam n um inteiro positivo e f(x) uma função trigonométrica. Determine n e f(x) tais que:

\displaystyle 2f\left( \frac{\pi }{n}\right) =\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{2}}

Let n be a positive integer and f(x) some trigonometric function. Find n and f(x) such that:

\displaystyle 2f\left( \frac{\pi }{n}\right) =\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{2}}.

Solução :: Solution

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Puzzle trigonométrico :: Trigonometric Puzzle

  1. Solução de Jacques Glorieux por e-mail :: Solution by Jaques Glorieux via e-mail:

    \sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{2}}

    =\sqrt{\cos 0-\cos \frac{\pi }{4}}+\sqrt{\cos 0-\cos \frac{\pi }{4}}

    =\sqrt{-2\sin \left( \frac{1}{2}\left( 0+\frac{\pi }{4}\right) \right) \sin\left( \frac{1}{2}\left( 0-\frac{\pi }{4}\right) \right) }
    +\sqrt{2\cos \left( \frac{1}{2}\left( 0+\frac{\pi }{4}\right) \right) \cos\left( \frac{1}{2}\left( 0-\frac{\pi }{4}\right) \right) }

    =\sqrt{2\sin ^{2}\frac{\pi }{8}}+\sqrt{2\cos ^{2}\frac{\pi }{8}}

    =\sqrt{2}\left( \sin \frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{8}\right)

    =2\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{\pi }{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{\pi }{8}\right)

    =2\left( \sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{4}\cos\frac{\pi }{8}\right)

    =2\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{8}\right)

    =2\cos \left( \frac{\pi }{8}\right)

    \implies f(x)=\cos x \wedge n=8

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