Somatório duplo

Se tivermos uma tabela rectangular, com n linhas e m colunas e com entradas a_{ik}, a soma das linhas é igual à das colunas

\displaystyle\begin{array}{cccccccc}a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0j}&\cdots&a_{0m}&&S_{0}\\a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1m}&&S_{1}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i0}&a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{im}&&S_{i}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n0}&a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nm}&&S_{n}\\&&&&&&&\\S_{0}^{\prime }&S_{1}^{\prime }&\cdots&S_{j}^{\prime }&\cdots&S_{m}^{\prime }&&\displaystyle\sum_{i=0}^{n}S_{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}S_{j}^{\prime }\end{array}

o que justifica a troca da ordem dos somatórios

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{i=0}^{n}a_{ij},

atendendo às expressões da soma S_{i} das entradas da linha i e da soma S_{j}^{\prime } das entradas da coluna j da tabela

S_{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}a_{ij}\qquad 0\leq i\leq n

S_{j}^{\prime }=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{ij}\qquad 0\leq j\leq m.

Se os limites inferiores dos somatórios, em vez de 0, fossem, por exemplo, n_{0} e m_{0}, continuaria ainda a poder trocar-se a sua ordem.

\displaystyle\sum_{i=n_{0}}^{n}\displaystyle\sum_{j=m_{0}}^{m}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=m_{0}}^{m}\displaystyle\sum_{i=n_{0}}^{n}a_{ij}

\bigskip

No caso de uma tabela triangular do tipo

\displaystyle\begin{array}{cccccc}a_{00}&&&&&\\a_{10}&a_{11}&&&&\\\vdots&\vdots&\ddots&&&\\a_{i0}&a_{i1}&\cdots&a_{ii}&&\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\ddots&\\a_{n0}&a_{n1}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{nn}\end{array}

em que as entradas a_{ij} verificam as condições

0\leq j\leq i\leq n,

e

a_{ij}=0\qquad para j\geq i;

como S_{j}^{\prime } e S_{i} passam a ser S_{j}^{\prime}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{ij}=\sum_{i=0}^{j}a_{ij} e S_{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{i}a_{ij}, se se somar as linhas e igualar à soma das colunas, obtém-se

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}a_{ij}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{n}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{ij}.

Em conclusão,

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\sum_{j=0}^{i}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{ij}.

Se dispuséssemos os números a_{ij} numa tabela em que os índices das entradas a_{ij} obedecessem a 0\leq i\leq j\leq n,

chegar-se-ia a

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{j}a_{ij}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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