5.º ano do liceu

10-11-1965

I

Torne irredutíveis as seguintes fracções:

a)

\dfrac{a^{-1}x-c^{-2}x+2a^{-1}y-2c^{-2}y}{c^{2}-a}

b)

\dfrac{65\cdot a^2\cdot x^{-3}\cdot y^{-4}}{13\cdot a^{-1}\cdot x^2\cdot y}

II

a) Efectue as seguintes operações e simplifique os resultados:

\left( \dfrac{x-1}{a-1}\right) ^{-2}\cdot \left( \dfrac{x-1}{x+1}\right) ^{2}\cdot \left( \dfrac{x+1}{a+1}\right) ^{2}

b) Calcule o valor numérico da expressão

\dfrac{a^{-2}+b^{-1}}{2a^{-1}\cdot b}

para a=-1 e b=2

III

Efectue as operações e simplifique os resultados:

a)

5\sqrt{x}-14\sqrt[4]{x^{2}}+8\sqrt[6]{64x^{3}}

b)

\dfrac{3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}:2}{\sqrt{8}\cdot 2\sqrt{2}}}{\sqrt[6]{8}-\sqrt{18}}

c)

\dfrac{\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}}}{\sqrt{a^{-1}\sqrt{a}}}

d) Substitua a expressão dseguinte por outra equivalente, mas com denominador racional.

\dfrac{x\sqrt{2}+2\sqrt{x}}{x\sqrt{2}-2\sqrt{x}}

* * *

16-3-1966

I

Efectue e simplifique a seguinte expressão:

\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}

II

Calcule, com denominador racional, o valor da expressão \dfrac{x^2+2}{x^2-2} para x=\sqrt{2}+1.

III

Resolva em ordem a x a equação:

x^2-ax+a\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot x

IV

O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.

V

ABC é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em O.

a) Quanto mede o arco \overset{\frown }{AB}? Porquê ?

b) Como classifica o triângulo CDA? Justifique a resposta.

c) Se for r=3 cm, quanto mede a corda AC? Porquê ?

d) Sendo como se disse na alínea anterior, r=3 cm, calcule a área do triângulo ABC

circulotriangulo

VI

Considere um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA,PB,PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

 

4 respostas a 5.º ano do liceu

  1. Henrique diz:

    Senhor Américo,

    Estou na 8ª série/9º ano do Ensino Fundamental, logo estarei no 1º do Ensino Médio. Gosto muito de matemática e, até onde me ensinam, aprendo muito bem. Sou bom com as contas, mas tenho problema em interpretar os problemas, ou seja, transformar o problema em contas. Ficaria REALMENTE muito feliz se o senhor pudesse me ajudar com isso: seja dando dicas, indicando sites/livros com exercícios resolvidos e exercícios a resolver (a meu nível, por favor), ou mesmo ensinando algo.

    Grato.

    • O melhor conselho que lhe posso dar é falar com o seu professor. Pode também colocar as suas questões, uma de cada vez, no site, em inglês, Mathematics Stack Exchange, cujo link pode ver na barra lateral. A questão de pôr um problema em equação, geralmente é o mais difícil, e vai-se aprendendo com o tempo. Se já domina o cálculo algébrico, é depois mais fácil resolver a/as equação/ções correspondentes a um dado problema.

  2. Henrique diz:

    Eu já falei com a minha professora, e ela disse que a única maneira de aprender a interpretar problemas é treinar bastante. Mas eu pergunto, como e onde treinar? Onde e como posso achar exercícios apropriados para meu nível e, talvez, um pouco mais alto? Foi essa busca pelos exercícios que me trouxe até o seu site. Geralmente, nas provas que faço para bolsas e etc., sempre caem problemas de Ensino Médio, e não para o meu nível, que é 8ª série. Claro que eles fazem isso porque não querem te dar uma bolsa 100%, uma vez que não ganhariam nada com isso. Não tenho certeza, mas acho que o ideal seria achar problemas resolvidos, para quando eu ver um problema semelhante, já associar com o que vi. Enquanto procuro esses problemas, assisto alguns vídeos sobre matemática no youtube.

    Obrigado pelas dicas! :)

  3. elena diz:

    eu gostai muito de ese trabalho e aprendi muito mas como que e terceiro ?

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