Os números de 2012

Os números deste blogue segundo o Annual Report da WordPress:

About 55,000 tourists visit Liechtenstein every year. This blog was viewed about 240.000 times in 2012. If it were Liechtenstein, it would take about 4 years for that many people to see it. Your blog had more visits than a small country in Europe! 

* * *

Proveniência dos visitantes:

sitestats

 

Tabelas em LaTeX num blogue do WordPress

Medida \mu de irracionalidade de \zeta(3) e \zeta(2) (Apéry 1978)

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\zeta (3)&\zeta (2)\\\hline\sigma&3+4\ln(1+4\sqrt{2})&2+5\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\hline\tau&-3+4\ln(1+\sqrt{2})&-2+5\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\hline\mu=1+\dfrac{\sigma}{\tau}&\dfrac{8\ln(1+\sqrt{2})}{4\ln(1+\sqrt{2})-3}&\dfrac{10\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}{5\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-2}\\\hline \end{array}

Código \LaTeX utilizado (entre $$)

\begin{array}{|c|c|c|}

\hline&\zeta (3)&\zeta (2)\\\hline

\sigma&3+4\ln(1+4\sqrt{2})&2+5\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\hline\tau&-3+4\ln(1+\sqrt{2})&-2+5\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\hline

\mu=1+\dfrac{\sigma}{\tau}&\dfrac{8\ln(1+\sqrt{2})}{4\ln(1+\sqrt{2})-3}&\dfrac{10\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}{5\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-2}\\\hline

\end{array}

Esta tabela foi adaptada do seguinte exemplo de Zev Chonoles em meta.math.stackexchange:

$$\begin{array}{c|c|c|}

&\text{Column A}&\text{Column B}\\\hline

\text{Row 1}&5&\oplus\\\hline

\text{Row 2}&\displaystyle\int&8\\\hline

\end{array}$$

que aqui se escreve no formato $latex código$, resultando em

\begin{array}{c|c|c|}&\text{Column A}&\text{Column B}\\\hline\text{Row 1}&5&\oplus\\\hline\text{Row 2}&\displaystyle\int&8\\\hline\end{array}

ou nesta versão com o texto traduzido

$$\begin{array}{c|c|c|}

&\text{Coluna A}&\text{Coluna B}\\\hline

\text{Linha 1}&5&\oplus\\\hline

\text{Linha 2}&\displaystyle\int&8\\\hline

\end{array}$$

\begin{array}{c|c|c|}&\text{Coluna A}&\text{Coluna B}\\\hline\text{Linha 1}&5&\oplus\\\hline\text{Linha 2}&\displaystyle\int&8\\\hline\end{array}

e, substituindo \begin{array}{c|c|c|} por \begin{array}{|c|c|c|}, em

\begin{array}{|c|c|c|}&\text{Coluna A}&\text{Coluna B}\\\hline\text{Linha 1}&5&\oplus\\\hline\text{Linha 2}&\displaystyle\int&8\\\hline\end{array}

Alguns números deste blogue — 666 666 visualizações

O meu obrigado a todos os leitores, comentadores e seguidores de Problemas Teoremas.

Como curiosidade informo que foram superadas hoje as 666666 visualizações. O melhor dia foi o do passado 15 de Março, com 1382; e a melhor semana, a de 12 a 18 Mar 2012, com 6845.

Desde o passado dia 25 de Fevereiro são estes os totais por país (os 15 melhores)

cuja distribuição geográfica se pode ver no mapa seguinte

Questão 1: determine o número de zeros finais de 666666!

Questão 2: qual a designação habitual do número

2^{67}-1=193707721\times 761838257287 ?

Questão 3: determine o maior número composto com apenas dois factores primos inferior a 666666.

Divulgarei o nome dos autores das respostas justificadas a qualquer das questões, colocadas na caixa de comentários ou enviadas por correio electrónico.

500 mil

O total de visitas registadas pelo contador WordPress, iniciado em 8 Outubro de 2007, atingiu as

500\ 000

Problema (série): Determine um majorante do erro \varepsilon cometido ao aproximar a série

\eta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}

pela sua soma parcial

S_{500000}=\displaystyle\sum_{k=1}^{500000}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}.

Calcule com a mesma aproximação \zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}.

Problema (computação) : Qual o número primo p_{500000}?

Comentário: As demonstrações de Pierre Dusart e de Eric Bach e Jeffrey Shallit (Wikipedia) estabelecem que para n\ge 6 se verifica a dupla desigualdade

n \ln n+n(\ln\ln n - 1)<p_n<n\ln n+n\ln \ln n

Daqui até ao resultado vai o passo que está relacionado com o andamento da função contagem dos números primos \pi(x), que dá o número de primos menores ou iguais a x. O teorema dos números primos diz-nos que o seu comportamento assimptótico é

\pi (x)\sim \dfrac{x}{\ln x}

A função  primes(N), em Python, no ambiente IDLE 2.6.4,  gera duas listas de números para calcular e apresentar os números primos até N.

>>> def primes(N):

$x, y = [0]*(N+2), [0]*(N+1)

x[1], p = 1, 2

x_p = 1

while p <= N:

…… . … print p,

…. .. … for m in range(1,N/p+1):

…. . ….. . if x[m] != 0:

…. . ….. . . x[m*p] = x[m] * x_p

. …… . while x[p] != 0:

. . …. … y[p] = y[p-1] + x[p]

. . …… . p += 1

Por exemplo, até N=1000:

>>> primes(1000)


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59  61

. . .

883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Foi com ela que determinei que o 1.º primo a seguir a 200 000 é o 200 003.

Se se incluir um contador a seguir a print p, poderá obter-se \pi(x). Mas este algoritmo está longe de ser eficiente e com os meus meios demoraria tanto que nem me atrevo a começar.

Exemplo de um problema de geometria (publicado no Caderno) e em Dodecaedro: o comprimento da aresta (cerca de 2 000 visitas).

Determine o lado l de cada um dos doze pentágonos regulares deste sólido platónico, sabendo que dois vértices simétricos em relação ao centro do dodecaedro, distam entre si d metros.

dodecaedro32d.jpgCuriosidade: segundo a WordPress «O Museu do Louvre é visitado por 8,5 milhões de pessoas todos os anos», o que significaria que o meio milhão de visitantes do problemas | teoremas

 3djpeg.jpg necessitaria de  21 dias a verem a exposição no Louvre.

200 000 hits em 26.07.09

200 000 hits em 26.07.09

Períodos mais movimentados

  • dia: 22-6-2009, com 1 095
  • mês: Maio 2011, com 19 648 (20 087 em Junho 2011)
  • semana: 25 de 2011, com 5 321

e alguns parciais

  • 8.10.07: início
  • 22.02.09: 123 456
  • 26.07.09: 200 000
  • 12.12.09: 250 000
  • 5.05.10: 300 000
  • 12.09.10: 350 000
  • 13.12.10: 400 000
  • 10.04.11: 450 000

Termino com o cabeçalho, que foi recortado da antepenúltima figura; as suas equações paramétricas são:

x = s\sin s\cos t

y = s\cos s\cos t

z = s\sin t,

com 0\le s\le 2\pi e 0\le t\le\pi. Nesta representam-se os três eixos coordenados

Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

Traduzo e adapto  esta minha entrada em inglês  onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.

O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.

Suponha para  simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de  5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de  £50000 e pagar  £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que  demoro a liquidá-lo?

Texto original:

Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage?

 

Eis os meus dois comentários:

1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal P,  temos de determinar o valor dos pagamentos constantes A durante n períodos mensais. O valor de A no período k é equivalente ao valor actual A/\left( 1+i\right) ^{k} unidades monetárias, em que  i é a taxa de juro em cada período de capitalização. Somando em k, desde 1 a n, obtemos a soma

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}

Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão r=1/(1+i) e primeiro termo u_{1}=A/\left( 1+i\right)

\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P

 ou

A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}

No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante n meses, com i=5/12\%=\dfrac{5}{1200} e P=50\,000. Assim

 A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500

 ou

\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1

Resolvendo em ordem a n, obtemos

n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129,63 meses (10,802 anos)

e, como provou

20\ln 2\approx 13,863>10,802.

2. “Permita-me que  acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de  5%, composta  m vezes ao ano como segue:

\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1 =e^{0,05}-1\approx 5,127\%

 (que a sua fórmula e^{\alpha }=1,05 aproxima para \alpha =0,05), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal r, como

i_{E\;(m\rightarrow \infty )}=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m}-1  =\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.

Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”

Férias Grandes Summer Holidays

arvore

 

Informo os leitores que vou entrar agora em férias grandes. Entretanto podem ver (e resolver) este meu Problema do mês

I inform my readers that I am starting now my  Summer Holidays. Meanwhile you can look at (and solve) this Problem of The Month of mine

 

ADENDAS DE 10 e 16.07.09

ADDENDA OF July 10 and 16, 2009

Celtic Woman – A New Journey – You Raise Me Up

Marlene Dietrich Sag mir wo die blumen sind

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Triângulo como picture do LaTeX desenhado num blogue do WordPress

Na secção 5.2 de The Not So Short Introduction to LaTeX (tradução portuguesa) de Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna e Elisabeth Schlegl é descrito o ” Picture Environment” (p. 97) (“ambiente picture”, p. 90) . Daí 

\setlength{\unitlength}{0.8cm}

\begin{picture}(6,5)

    \thicklines

    \put(1,0.5){\line(2,1){3}}

    \put(4,2){\line(-2,1){2}}

    \put(2,3){\line(-2,-5){1}}

    \put(0.7,0.3){$A$}

    \put(4.05,1.9){$B$}

    \put(1.7,2.95){$C$}

    \put(3.1,2.5){$a$}

    \put(1.3,1.7){$b$}

    \put(2.5,1.05){$c$}

    \put(0.3,4){$F=

        \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$}

    \put(3.5,0.4){$\displaystyle

        s:=\frac{a+b+c}{2}$}

\end{picture}

adaptei o exemplo seguinte.

O  código LaTeX a seguir, escrito sem espaços para ser aceite correctamente pelo WordPress

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){A}\put(4.05,1.9){B}\put(1.7,2.95){C}\put(3.1,2.5){a}\put(1.3,1.7){b}\put(2.5,1.05){c}\end{picture}&fg=000000$

desenha o triângulo

\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){A}\put(4.05,1.9){B}\put(1.7,2.95){C}\put(3.1,2.5){a}\put(1.3,1.7){b}\put(2.5,1.05){c}\end{picture}

que tem o inconveniente das letras não estarem em itálico. Passando-as a itálico através de \textit, modifiquei o código  para

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){\textit{A}}\put(4.05,1.9){\textit{B}}\put(1.7,2.95){\textit{C}}\put(3.1,2.5){\textit{a}}\put(1.3,1.7){\textit{b}}\put(2.5,1.05){\textit{c}}\end{picture}&fg=000000$

simulando desta forma o que no picture environment se obtém com as letras escritas entre $ $, mas que aqui entra em conflito com a sintaxe reconhecida pelo WordPress, ficando

\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){\textit{A}}\put(4.05,1.9){\textit{B}}\put(1.7,2.95){\textit{C}}\put(3.1,2.5){\textit{a}}\put(1.3,1.7){\textit{b}}\put(2.5,1.05){\textit{c}}\end{picture}

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Propriedades aritméticas ilustradas por 123456. Será um número interessante?

123456 

A propósito do número de visitas deste blogue — o contador do WordPress passou hoje por 123456 — lembrei-me de  ver se descobria algo de interessante nele. Por exemplo:

1 – Quantos divisores admite?

Para respondermos a esta questão sem os indicar explicitamente, podemos recorrer a um teorema da aritmética racional (ou teoria dos números) cujo enunciado é:

O número de divisores do  inteiro n é a função aritmética d(n) cuja expressão analítica é 

d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)

em que e_1,e_2,\dots , e_k são os expoentes da decomposição factorial em números primos de n

n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}

Então, como

123456=2^6\times 3\times 643

o número de divisores de 123456 é

d(123456)=(6+1)(1+1)(1+1)=28

2 – Como se escreve na base 6?

Como

123456=0+2\times 6+3\times 6^2+1\times 6^3+5\times 6^4+3\times 6^5+2\times 6^6

 tem-se

(2351320)_6=(123456)_{10}

Penso acrescentar mais exemplos, no futuro, aqui. São quase 23h30m e pretendo “postar” ainda hoje.

(Continuação, 23-2-2009)

3 – Quais são os maiores números de Fibonacci de que é soma?
 Ora, como
123456=121393+1597+377+55+21+13

=x_{26}+x_{17}+x_{14}+x_{10}+x_{8}+x_{7}

em que

x_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}{\sqrt{5}}

é o número de Fibonacci de ordem n, os números são precisamente x_{26},x_{17},x_{14},x_{10},x_{8},x_{7}.

4 – Em quantos modos diferentes se pode decompor num produto de factores primos ente si?

Atendendo a que há 3 potências (2^6,3,643)  na sua decomposição em primos, a resposta é 2^{3-1}=4, e que são:

123456=1\times 123456

123456=2^6\times (3\times 643)=64\times 1929

123456=(2^6\times 3)\times 643)=192\times 643

123456=(2^6\times 643)\times 3=41152\times 3

(Continuação, 24-2-2009)

5 – Qual é o resto da divisão inteira do seu cubo por 7?

Sem fazer a conta na calculadora, podemos utilizar propriedades das congruências, para chegar ao resultado.

Notação e definição: a\equiv b\; (\mod m) , que se lê a é congruente com b para o módulo m, significa que a-b é  um múltiplo de m (com a,b,c inteiros).

Ora, 64\times 1929=123456, 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) e 1929\equiv 4\;\left( \mod 7\right) . Pela propriedade da relação de congruência que diz que

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv d\;\left( \mod m\right) , então ac\equiv bd\;\left( \mod m\right)

 vem

123456= 64\times 1929\equiv 1\times 4\;\left( \mod 7\right) =4\;\left( \mod 7\right)

e por outra propriedade, a que diz que

se a\equiv b\;\left( \mod m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\;\left( \mod m\right)

 tem-se

123456^{3}\equiv 4^{3}\;\left( \mod 7\right) =64\;\left( \mod 7\right)

E como 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) , pela propriedade transitiva da relação de congruência

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv c\;\left( \mod m\right) , então a\equiv c\;\left( \mod m\right)

 conclui-se que

  123456^{3}\equiv 1\;\left( \mod 7\right)

 pelo que o resto é  1.

(Continuação, 25-2-2009)

6 – Qual é a soma dos seus divisores?

Sabendo-se a factorização em primos de um número n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}  a soma dos seus divisores é dada por

\dfrac{p_{1}^{^{e_{1}+1}}-1}{p_{i}-1}\times \dfrac{p_{2}^{e_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\times \cdots \times \dfrac{p_{k}^{e_{k}+1}-1}{p_{k}-1}

No caso de 123456=2^{6}\times 3\times 643 será

\dfrac{2^{7}-1}{1}\times \dfrac{3^{2}-1}{2}\times \dfrac{643^{2}-1}{642}=327152

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