Série de MacLaurin de exp(1/(1-z))

Na questão de DannyBoy  Find the first four non-zero terms of the Maclaurin series of f(z)=e^{\frac{1}{1-z}}, no MSE, pretende-se achar os quatro primeiros termos da série de MacLaurin, sem calcular as derivadas, da função f(z)=e^{\frac{1}{1-z}} .

Tradução da minha resposta.

A partir das séries de Maclaurin

\dfrac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+z^{3}+O\left( z^{4}\right)

e

\exp(z)= 1+z+\dfrac{1}{2!}z^{2}+\dfrac{1}{3!}z^{3}+O(z^{4}),

podemos obter o desenvolvimento de \exp\left(\dfrac{1}{1-z}\right) como é explicado nos seguintes passos:

\begin{aligned}\exp\left(\dfrac{1}{1-z}\right)&=\exp\left(1+z+z^{2}+z^{3}+O\left(  z^{4}\right)\right)\\&= \exp\left(1\right)\exp\left(z\right)\exp\left(z^2 \right)\exp\left( z \right)\exp\left( z^3 \right)\exp\left( O(z^4) \right)\\&=\underset{\exp\left(1\right)}{\underbrace{e}}\,\underset{\exp\left(z\right) }{\underbrace{\left(1+z+\dfrac{1}{2}z^{2}+\dfrac{1}{6}z^{3}+O(z^{4})\right)}}\times\\&\qquad\underset{\exp\left(z^{2}\right) }{\times \underbrace{\left(1+z^{2}+O( z^{4})\right) }}\, \underset{\exp\left( z^{3}\right)}{  \underbrace{\left( 1+z^{3}+O(z^{4})\right ) }}\\  &=e\left(1+z+\dfrac{1}{2}z^{2}+\dfrac{1}{6}z^{3}+O(z^{4})\right)\underset{\exp\left(z^{2}\right)\exp\left( z^{3}\right)}{\underbrace{\left(1+z^{2}+z^{3}+O( z^{4})\right ) }}\\  &=e\left( 1+z+( 1+\dfrac{1}{2}) z^{2}+( 1+1+\dfrac{1}{6})  z^{3}+O( z^{4})\right)\\&=e+ez+\dfrac{3}{2}ez^{2}+\dfrac{13}{6}ez^{3}+O(z^{4}).  \end{aligned}

P.S. A ideia foi desenvolver cada um dos factores de f(z) em série de MacLaurin, aproveitando apenas os termos até O(z^{4}).

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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