Exercício de aplicação dos teoremas de Pitágoras e das raízes racionais de um polinómio

Publicado em 16 de Agosto de 2012 por Américo Tavares

Determinar o valor de x na figura

Desta questão de Rajesh K Singh, no MSE.

Resolução (tradução da minha resposta). Pelo teoremas de Pitágoras tem-se

CE=\sqrt{10^{2}-\left( x-3\right) ^{2}}=\sqrt{91-x^{2}+6x}

e

CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}=\left( CE+AE\right) ^{2}

Assim temos de resolver a seguinte equação irracional

\left( x-3\right) ^{2}+\left( x+4\right) ^{2}=\left( \sqrt{91-x^{2}+6x}+x\right) ^{2},

que pode simplificar-se para a forma

x^{2}-2x-33=\sqrt{-x^{4}+6x^{3}+91x^{2}}.

Após elevar ao quadrado ambos os membros e agrupar os termos do mesmo grau obtém-se a equação quártica

2x^{4}-10x^{3}-153x^{2}+132x+1089=0

O coeficiente de x^{4} é 2=1\times 2 e o termo constante, 1089=1\times 3^{2}11^{2}. Para encontrar possíveis raízes racionais desta equação, aplicamos o teorema das raízes racionais e testamos números da forma

x=\pm\dfrac{p}{q},

em que p\in \left\{ 1,3,9,11,33,99,121,363,1089\right\} é um divisor de 1089 e q\in \left\{ 1,2\right\} um divisor de 2. Acontece que x=3 and x=11 são raízes. Agora dividimos o primeiro membro por x-3

\dfrac{2x^{4}-10x^{3}-153x^{2}+132x+1089}{x-3}=2x^{3}-4x^{2}-165x-363

e este quociente por x-11

\dfrac{2x^{3}-4x^{2}-165x-363}{x-11}=2x^{2}+18x+33.

Assim obtemos a equação equivalente

\left( x-3\right) (x-11)\left( 2x^{2}+18x+33\right) =0

Como as raízes de 2x^{2}+18x+33 são ambas negativas e x=3 não é uma raíz da equação irracional original, a solução é portanto

x=11

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Exercício de aplicação dos teoremas de Pitágoras e das raízes racionais de um polinómio

  1. Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) diz:
    26 de Abril de 2013 às 18:48

    Suponhamos que x seja inteiro. Como o triângulo retângulo BEC é retângulo, logo, BC = 10 (hipotenusa). Usando as fórmulas de Euclides:

    a = x^2 – y^2
    b = 2xy
    c = x^2 + y^2
    Como c = 10, logo, 10 = x^2 + y^2 = 3^2 + 1^2
    a = 3^2 – 1^2 = 8
    b = 2xy = 2(3)(1) = 6
    c = x^2 + y^2 = 3^2 + 1^1 = 10
    Como a = 8, logo, 8 = x – 3 e x = 11.

    [Transcrição com adequação da escrita matemática, em LaTeX, nesta caixa de comentários, deste blogue do WordPress e ligeira alteração da formatação.

    Suponhamos que x seja inteiro. Como o triângulo retângulo BEC é retângulo, logo, BC=10 (hipotenusa). Usando as fórmulas de Euclides:

    a=x^2-y^2

    b=2xy

    c=x^2+y^2

    Como c=10, logo, 10=x^2+y^2=3^2+1^2

    a=3^2-1^2=8

    b=2xy=2(3)(1)=6

    c=x^2+y^2=3^2+1^1=10

    Como a = 8, logo, 8 = x - 3 e x = 11] AT

    Responder

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