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Se o termo geral de uma sucessão for constante (), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão
. E qual é o limite de
quando
? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:
.
Considere agora o leitor que , com
Como
claro que
Por outro lado, sendo neste caso
verifica-se igualmente a igualdade
.
Exemplo: em mais um caso concreto, seja agora Vou determinar
por um método adaptado de Curso de Matemáticas Gerais de Campos Ferreira [1]. Temos
Então, qualquer que seja
existe um
tal que, para todo o
, se verifica
e, portanto,
Multiplicando estas duplas desigualdades vem, sucessivamente
pelo que
e, extraindo agora a raiz de ordem
Como e
são independentes de
, quando se faz tender
para infinito,
e
, ou seja, para
suficientemente grande, isto é, a partir de uma dada ordem
.
Assim
Atendendo a que e
e também
, se se escolher um número
tem-se
(para
), e, portanto, continua a ser
E será que em geral o limite da razão de um termo da sucessão em relação ao anterior é igual ao limite da raiz de índice
de
? A resposta é afirmativa e uma possível demonstração é a de Carlos Sarrico, em Análise Matemática [2], que prova primeiro que se uma sucessão converge para
, então as médias aritmética e geométrica dos seus
primeiros termos convergem também para
, e daí deduz a validade desse enunciado. A proposição seguinte trata precisamente do caso geral, seguindo a mesma estrutura de demonstração do exemplo anterior.
Proposição: Se, para todos os valores de ,
e se
, então
.
Demonstração (adaptada de [1]): Pretende-se provar que, qualquer que seja a desigualdade
é verificada para todos os valores de a partir de alguma ordem
Como, por hipótese,
, então, qualquer que seja
existe um
tal que, para todo o
, se verifica
e, portanto, para
tem-se
.
Multiplicando em estas
duplas desigualdades vem, sucessivamente
Daqui tira-se
e, extraindo a raiz de ordem
Como e
são independentes de
, quando se faz tender
para infinito,
e
tendem para 1, ou seja, existe um número
, tal que para
pelo que se obtém o seguinte enquadramento:
Atendendo a que e
e também
, vê-se que tomando
se tem efectivamente
(para
), o que demonstra a proposição.
Exercícios de aplicação: determine , em que
1.
2.
3. em que
Resolução
1. e
2. e
3. e
Problema
Sabendo que a sucessão verifica a relação de recorrência
determine
Resolução
A relação de recorrência acima é de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes, dizendo-se ainda homogénea pelo segundo membro ser nulo. A teoria das equações às diferenças diz-nos que o termo geral da sucessão é da forma
em que são as raizes da equação característica
Verificação: por substituição vê-se que é solução de
De facto,
é equivalente a Analogamente
é outra solução, pois de
resulta Sendo
raizes da equação característica, a relação de recorrência é verificada. Como a expressão
é uma combinação linear de
e
, facilmente se conclui que também verifica a recorrência
Resolvendo a equação característica, vem
e o termo geral
Como , o comportamento de
para
suficientemente grande é dominado por
— caso a solução seja crescente com
[editado em 17-10-2008]– e a razão
tende por esse motivo para
Referências
[1] FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.
[2] SARRICO, Carlos, Análise Matemática, Leituras e exercícios, 3ª. ed., Gradiva, Lisboa, 1999.
[Correcção de 30-10-2008: nos termos gerais dos exercícios]
[Correcção de 30-11-2008: na resolução do exercício 3]
[7-12-2008: corrigido pdf]
Esta materia está certa ?
Se notou algum erro poderia indicá-lo?
eu tinha duvidas
dessa materia mas ja entendi
gostei da vossa formation