Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

pdf: ver caderno

Se o termo geral de uma sucessão for constante ( $u_{n}=c$ ), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=1$ . E qual é o limite de $\sqrt[n]{u_{n}}=\sqrt[n]{c}$ quando $c>0$ ? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{c}=1$ .

Considere agora o leitor que $u_{n}=c^{n}$ , com $c>0.$ Como $\sqrt[n]{c^{n}}=c$ claro que $\lim \sqrt[n]{u_{n}}=c.$ Por outro lado, sendo neste caso $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c^{n+1}}{c^{n}}=c,$ verifica-se igualmente a igualdade

$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}$ .

Exemplo: em mais um caso concreto, seja agora $u_{n}=n^{2}.$ Vou determinar $\lim \sqrt[n]{n^{2}}$ por um método adaptado de Curso de Matemáticas Gerais de Campos Ferreira [1]. Temos $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}\rightarrow 1.$ Então, qualquer que seja $\delta >0$ existe um $N$ tal que, para todo o $n\geq N$ , se verifica $1-\delta <\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}<1+\delta$ e, portanto,

$1-\delta <\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<1+\delta\qquad k=0,1,2,\ldots n-N-1.$

Multiplicando estas $n-N$ duplas desigualdades vem, sucessivamente

$\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1-\delta \right) <\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1+\delta \right)$

$\bigskip$

$\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1-\delta \right) \cdots \left( 1-\delta\right) }}<\dfrac{\left( N+1\right) ^{2}}{N^{2}}\dfrac{\left( N+2\right) ^{2}}{\left( N+1\right) ^{2}}\cdots \dfrac{n^{2}}{\left( n-1\right) ^{2}}<\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1+\delta \right) \cdots \left( 1+\delta \right) }}$

$\bigskip$

$\left( 1-\delta \right) ^{n}\left( 1-\delta \right) ^{-N}=\left( 1-\delta\right) ^{n-N}<\dfrac{n^{2}}{N^{2}}<\left( 1+\delta \right) ^{n-N}=\left( 1+\delta \right) ^{n}\left( 1+\delta \right) ^{-N},$

$\bigskip$

pelo que

$\left( 1-\delta\right) ^{n}\left( 1-\delta\right) ^{-N}n^{2}<n^{2}$ $<\left( 1+\delta\right) ^{n}\left( 1+\delta\right) ^{-N}n^{2}$

e, extraindo agora a raiz de ordem $n$

$\left( 1-\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}.$

Como $\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}$ e $\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}$ são independentes de $n$ , quando se faz tender $n$ para infinito, $\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1$ e $\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1$ , ou seja, para $n$ suficientemente grande, isto é, a partir de uma dada ordem $N^{\prime }$

$1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta$

$\bigskip$

$1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta$ .

Assim

$( 1-\delta)(1-\delta)<(1-\delta)\sqrt[n]{(1-\delta)^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}$

$\bigskip$

$\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta \right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}<\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) .$

Atendendo a que $\left( 1-\delta\right) \left( 1-\delta\right) =1-\left( \delta +\delta -\delta ^{2}\right)$ e $\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) =1+\left( \delta +b\delta +\delta ^{2}\right)$ e também $\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}$ , se se escolher um número $\varepsilon >\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}$ tem-se $1-\varepsilon <\sqrt[n]{n^{2}}<1+\varepsilon$ (para $n\geq \max \left\{ N^{\prime },N\right\}$ ), e, portanto, continua a ser

$\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=1.\qquad\blacktriangleleft$

E será que em geral o limite da razão de um termo da sucessão $\left( u_{n}\right)$ em relação ao anterior é igual ao limite da raiz de índice $n$ de $u_{n}$ ? A resposta é afirmativa e uma possível demonstração é a de Carlos Sarrico, em Análise Matemática [2], que prova primeiro que se uma sucessão converge para $b$ , então as médias aritmética e geométrica dos seus $n$ primeiros termos convergem também para $b$ , e daí deduz a validade desse enunciado. A proposição seguinte trata precisamente do caso geral, seguindo a mesma estrutura de demonstração do exemplo anterior.

$\bigskip$

Proposição: Se, para todos os valores de $n$ , $u_{n}>0$ e se $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ , então $\lim\sqrt[n]{u_{n}}=b$ .

$\bigskip$

Demonstração (adaptada de [1]): Pretende-se provar que, qualquer que seja $\varepsilon <0,$ a desigualdade

$\left\vert \sqrt[n]{u_{n}}-b\right\vert <\varepsilon$

é verificada para todos os valores de $n,$ a partir de alguma ordem $M.$ Como, por hipótese, $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ , então, qualquer que seja $\delta >0$ existe um $N$ tal que, para todo o $n\geq N$ , se verifica $b-\delta <\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}<b+\delta$ e, portanto, para $k=0,1,2,\ldots n-N-1,$ tem-se

$b-\delta <\dfrac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}<b+\delta$ .

Multiplicando em $k$ estas $n-N$ duplas desigualdades vem, sucessivamente

$\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}(b-\delta )<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{u_N+k+1}{u_{N+k}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}( b+\delta )$

$\bigskip$

$\overset{n-N}{\overbrace{(b-\delta )\cdots (b-\delta )}}<\dfrac{u_{N+1}}{u_{N}}\dfrac{u_{N+2}}{u_{N+1}}\cdots\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}<\overset{n-N}{\overbrace{(b+\delta )\cdots (b+\delta )}}$

$\bigskip$

$(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}=( b-\delta )^{n-N}<\dfrac{u_{n}}{u_{N}}<(b+\delta )^{n-N}=(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}.$

Daqui tira-se

$(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}u_{N}<u_{n}<(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}u_{N}$

e, extraindo a raiz de ordem $n$

$(b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}.$

Como $(b-\delta )^{-N}u_{N}$ e $(b+\delta )^{-N}u_{N}$ são independentes de $n$ , quando se faz tender $n$ para infinito, $\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}$ e $\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}$ tendem para 1, ou seja, existe um número $N^{\prime }$ , tal que para $n\geq N^{\prime }$

$1-\delta<\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta$

$\bigskip$

$1-\delta<\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta$

pelo que se obtém o seguinte enquadramento:

$(1-\delta )( b-\delta )<( b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}$

$\bigskip$

$\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{( b+\delta )^{-N}u_{N}}<(b+\delta )(1+\delta ) .$

Atendendo a que $(1-\delta )(b-\delta ) =b-(\delta +b\delta -\delta ^{2})$ e $(b+\delta )(1+\delta )=b+(\delta +b\delta +\delta ^{2})$ e também $\delta +b\delta +\delta ^{2}>\delta +b\delta -\delta ^{2}$ , vê-se que tomando $\varepsilon >\delta +b\delta +\delta ^{2}$ se tem efectivamente $b-\varepsilon<\sqrt[n]{u_{n}}<b+\varepsilon$ (para $n\geq M=\max \left\{N^{\prime },N\right\}$ ), o que demonstra a proposição. $\qquad\blacksquare$

$\bigskip$

Exercícios de aplicação: determine $\lim \sqrt[n]{u_{n}}$ , em que

1. $u_{n}=1+\dfrac{1}{n}$

2. $u_{n}=\left( n+1\right) !-n!$

3. $u_{n}=a^{n}+b^{n}$ em que $0<a\leq b$

Resolução

1. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n\left( n+2\right) }\rightarrow 1;$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow 1$

2. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+2\right) !-\left( n+1\right) !}{\left( n+1\right) !-n!}=\dfrac{\left( n+2\right) \left( n+1\right) -\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) -1}\rightarrow +\infty ;$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow +\infty$

3. $\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\dfrac{b^{n+1}\left( \dfrac{a^{n+1}}{b^{n+1}}+1\right) }{b^{n}\left( \dfrac{a^{n}}{b^{n}}+1\right) }\rightarrow b$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow b.$

$\bigskip$

Problema

Sabendo que a sucessão $\left( u_{n}\right)$ verifica a relação de recorrência

$u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0$

determine $\lim \sqrt[n]{u_{n}}.$

$\bigskip$

Resolução

A relação de recorrência acima é de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes, dizendo-se ainda homogénea pelo segundo membro ser nulo. A teoria das equações às diferenças diz-nos que o termo geral da sucessão $\left( u_{n}\right)$ é da forma

$u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}$

em que $\alpha ,\beta$ são as raizes da equação característica

$X^{2}-34X+1=0.$

Verificação: por substituição vê-se que $u_{n}=\alpha ^{n}$ é solução de $u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$ De facto,

$\alpha ^{n}-34\alpha ^{n-1}+\alpha ^{n-2}=0$

é equivalente a $\alpha ^{n-2}\left( \alpha ^{2}-34\alpha +1\right) =0.$ Analogamente $u_{n}=\beta ^{n}$ é outra solução, pois de

$\beta ^{n}-34\beta ^{n-1}+\beta ^{n-2}=0$

resulta $\beta ^{n-2}\left( \beta ^{2}-34\beta +1\right) =0.$ Sendo $\alpha ,\beta$ raizes da equação característica, a relação de recorrência é verificada. Como a expressão $A\alpha^{n}+B\beta^{n}$ é uma combinação linear de $\alpha ^{n}$ e $\beta ^{n}$ , facilmente se conclui que também verifica a recorrência $u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$

Resolvendo a equação característica, vem

$\alpha=\dfrac{34+\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17+12\sqrt{2}>1$

$\beta=\dfrac{34-\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17-12\sqrt{2}=\alpha ^{-1}<1$

e o termo geral

$u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}=A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}.$

Como $\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}\rightarrow 0$ , o comportamento de $u_{n}$ para $n$ suficientemente grande é dominado por $\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}$ — caso a solução seja crescente com $n$ [editado em 17-10-2008]– e a razão

$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n+1}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n+1}}{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}}$

tende por esse motivo para $17+12\sqrt{2}.\qquad \blacktriangleleft$

$\bigskip$

Referências
[1] FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

[2] SARRICO, Carlos, Análise Matemática, Leituras e exercícios, 3ª. ed., Gradiva, Lisboa, 1999.

[Correcção de 30-10-2008: nos termos gerais $u_n$ dos exercícios]

[Correcção de 30-11-2008: na resolução do exercício 3]

[7-12-2008: corrigido pdf]

4 respostas a Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Jotamo diz:

22 de Maio de 2011 às 13:41

Esta materia está certa ?

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  22 de Maio de 2011 às 13:47
  
  Se notou algum erro poderia indicá-lo?
cidalia da graca diz:

19 de Março de 2012 às 09:42

eu tinha duvidas
dessa materia mas ja entendi

Responder
mohamad diz:

15 de Abril de 2013 às 05:41

gostei da vossa formation

Responder

Deixe uma Resposta Cancelar resposta

Insira aqui o seu comentário...

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Email (obrigatório) (O endereço nunca será tornado público)

Nome (obrigatório)

Site da Web

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Twitter ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Facebook ( Terminar Sessão / Alterar )

Cancelar

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	How to compute this… em Soma dos quadrados dos primeir…
	Polynomials –… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Carlos Alberto Guima… em Resolução da equação do 3.º gr…
	Trigonometry, knowin… em Fórmula de Herão da área de um…