Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Publicado em 16 de Outubro de 2008 por Américo Tavares

Se o termo geral de uma sucessão for constante ( $u_{n}=c$ ), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=1$ . E qual é o limite de $\sqrt[n]{u_{n}}=\sqrt[n]{c}$ quando $c>0$ ? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{c}=1$ .

Considere agora o leitor que $u_{n}=c^{n}$ , com $c>0.$ Como $\sqrt[n]{c^{n}}=c$ claro que $\lim \sqrt[n]{u_{n}}=c.$ Por outro lado, sendo neste caso $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c^{n+1}}{c^{n}}=c,$ verifica-se igualmente a igualdade

$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}$ .

Exemplo: em mais um caso concreto, seja agora $u_{n}=n^{2}.$ Vou determinar $\lim \sqrt[n]{n^{2}}$ por um método adaptado de Curso de Matemáticas Gerais de Campos Ferreira [1]. Temos $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}\rightarrow 1.$ Então, qualquer que seja $\delta >0$ existe um $N$ tal que, para todo o $n\geq N$ , se verifica $1-\delta <\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}<1+\delta$ e, portanto,

$1-\delta <\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<1+\delta\qquad k=0,1,2,\ldots n-N-1.$

Multiplicando estas $n-N$ duplas desigualdades vem, sucessivamente

$\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1-\delta \right) <\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1+\delta \right)$

$\bigskip$

$\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1-\delta \right) \cdots \left( 1-\delta\right) }}<\dfrac{\left( N+1\right) ^{2}}{N^{2}}\dfrac{\left( N+2\right) ^{2}}{\left( N+1\right) ^{2}}\cdots \dfrac{n^{2}}{\left( n-1\right) ^{2}}<\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1+\delta \right) \cdots \left( 1+\delta \right) }}$

$\bigskip$

$\left( 1-\delta \right) ^{n}\left( 1-\delta \right) ^{-N}=\left( 1-\delta\right) ^{n-N}<\dfrac{n^{2}}{N^{2}}<\left( 1+\delta \right) ^{n-N}=\left( 1+\delta \right) ^{n}\left( 1+\delta \right) ^{-N},$

$\bigskip$

pelo que

$\left( 1-\delta\right) ^{n}\left( 1-\delta\right) ^{-N}n^{2}<n^{2}$ $<\left( 1+\delta\right) ^{n}\left( 1+\delta\right) ^{-N}n^{2}$

e, extraindo agora a raiz de ordem $n$

$\left( 1-\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}.$

Como $\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}$ e $\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}$ são independentes de $n$ , quando se faz tender $n$ para infinito, $\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1$ e $\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1$ , ou seja, para $n$ suficientemente grande, isto é, a partir de uma dada ordem $N^{\prime }$

$1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta$

$\bigskip$

$1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta$ .

Assim

$( 1-\delta)(1-\delta)<(1-\delta)\sqrt[n]{(1-\delta)^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}$

$\bigskip$

$\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta \right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}<\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) .$

Atendendo a que $\left( 1-\delta\right) \left( 1-\delta\right) =1-\left( \delta +\delta -\delta ^{2}\right)$ e $\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) =1+\left( \delta +b\delta +\delta ^{2}\right)$ e também $\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}$ , se se escolher um número $\varepsilon >\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}$ tem-se $1-\varepsilon <\sqrt[n]{n^{2}}<1+\varepsilon$ (para $n\geq \max \left\{ N^{\prime },N\right\}$ ), e, portanto, continua a ser

$\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=1.\qquad\blacktriangleleft$

E será que em geral o limite da razão de um termo da sucessão $\left( u_{n}\right)$ em relação ao anterior é igual ao limite da raiz de índice $n$ de $u_{n}$ ? A resposta é afirmativa e uma possível demonstração é a de Carlos Sarrico, em Análise Matemática [2], que prova primeiro que se uma sucessão converge para $b$ , então as médias aritmética e geométrica dos seus $n$ primeiros termos convergem também para $b$ , e daí deduz a validade desse enunciado. A proposição seguinte trata precisamente do caso geral, seguindo a mesma estrutura de demonstração do exemplo anterior.

$\bigskip$

Proposição: Se, para todos os valores de $n$ , $u_{n}>0$ e se $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ , então $\lim\sqrt[n]{u_{n}}=b$ .

$\bigskip$

Demonstração (adaptada de [1]): Pretende-se provar que, qualquer que seja $\varepsilon <0,$ a desigualdade

$\left\vert \sqrt[n]{u_{n}}-b\right\vert <\varepsilon$

é verificada para todos os valores de $n,$ a partir de alguma ordem $M.$ Como, por hipótese, $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ , então, qualquer que seja $\delta >0$ existe um $N$ tal que, para todo o $n\geq N$ , se verifica $b-\delta <\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}<b+\delta$ e, portanto, para $k=0,1,2,\ldots n-N-1,$ tem-se

$b-\delta <\dfrac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}<b+\delta$ .

Multiplicando em $k$ estas $n-N$ duplas desigualdades vem, sucessivamente

$\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}(b-\delta )<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{u_N+k+1}{u_{N+k}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}( b+\delta )$

$\bigskip$

$\overset{n-N}{\overbrace{(b-\delta )\cdots (b-\delta )}}<\dfrac{u_{N+1}}{u_{N}}\dfrac{u_{N+2}}{u_{N+1}}\cdots\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}<\overset{n-N}{\overbrace{(b+\delta )\cdots (b+\delta )}}$

$\bigskip$

$(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}=( b-\delta )^{n-N}<\dfrac{u_{n}}{u_{N}}<(b+\delta )^{n-N}=(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}.$

Daqui tira-se

$(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}u_{N}<u_{n}<(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}u_{N}$

e, extraindo a raiz de ordem $n$

$(b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}.$

Como $(b-\delta )^{-N}u_{N}$ e $(b+\delta )^{-N}u_{N}$ são independentes de $n$ , quando se faz tender $n$ para infinito, $\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}$ e $\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}$ tendem para 1, ou seja, existe um número $N^{\prime }$ , tal que para $n\geq N^{\prime }$

$1-\delta<\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta$

$\bigskip$

$1-\delta<\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta$

pelo que se obtém o seguinte enquadramento:

$(1-\delta )( b-\delta )<( b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}$

$\bigskip$

$\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{( b+\delta )^{-N}u_{N}}<(b+\delta )(1+\delta ) .$

Atendendo a que $(1-\delta )(b-\delta ) =b-(\delta +b\delta -\delta ^{2})$ e $(b+\delta )(1+\delta )=b+(\delta +b\delta +\delta ^{2})$ e também $\delta +b\delta +\delta ^{2}>\delta +b\delta -\delta ^{2}$ , vê-se que tomando $\varepsilon >\delta +b\delta +\delta ^{2}$ se tem efectivamente $b-\varepsilon<\sqrt[n]{u_{n}}<b+\varepsilon$ (para $n\geq M=\max \left\{N^{\prime },N\right\}$ ), o que demonstra a proposição. $\qquad\blacksquare$

$\bigskip$

Exercícios de aplicação: determine $\lim \sqrt[n]{u_{n}}$ , em que

1. $u_{n}=1+\dfrac{1}{n}$

2. $u_{n}=\left( n+1\right) !-n!$

3. $u_{n}=a^{n}+b^{n}$ em que $0<a\leq b$

Resolução

1. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n\left( n+2\right) }\rightarrow 1;$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow 1$

2. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+2\right) !-\left( n+1\right) !}{\left( n+1\right) !-n!}=\dfrac{\left( n+2\right) \left( n+1\right) -\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) -1}\rightarrow +\infty ;$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow +\infty$

3. $\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\dfrac{b^{n+1}\left( \dfrac{a^{n+1}}{b^{n+1}}+1\right) }{b^{n}\left( \dfrac{a^{n}}{b^{n}}+1\right) }\rightarrow b$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow b.$

$\bigskip$

Problema

Sabendo que a sucessão $\left( u_{n}\right)$ verifica a relação de recorrência

$u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0$

determine $\lim \sqrt[n]{u_{n}}.$

$\bigskip$

Resolução

A relação de recorrência acima é de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes, dizendo-se ainda homogénea pelo segundo membro ser nulo. A teoria das equações às diferenças diz-nos que o termo geral da sucessão $\left( u_{n}\right)$ é da forma

$u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}$

em que $\alpha ,\beta$ são as raizes da equação característica

$X^{2}-34X+1=0.$

Verificação: por substituição vê-se que $u_{n}=\alpha ^{n}$ é solução de $u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$ De facto,

$\alpha ^{n}-34\alpha ^{n-1}+\alpha ^{n-2}=0$

é equivalente a $\alpha ^{n-2}\left( \alpha ^{2}-34\alpha +1\right) =0.$ Analogamente $u_{n}=\beta ^{n}$ é outra solução, pois de

$\beta ^{n}-34\beta ^{n-1}+\beta ^{n-2}=0$

resulta $\beta ^{n-2}\left( \beta ^{2}-34\beta +1\right) =0.$ Sendo $\alpha ,\beta$ raizes da equação característica, a relação de recorrência é verificada. Como a expressão $A\alpha^{n}+B\beta^{n}$ é uma combinação linear de $\alpha ^{n}$ e $\beta ^{n}$ , facilmente se conclui que também verifica a recorrência $u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$

Resolvendo a equação característica, vem

$\alpha=\dfrac{34+\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17+12\sqrt{2}>1$

$\beta=\dfrac{34-\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17-12\sqrt{2}=\alpha ^{-1}<1$

e o termo geral

$u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}=A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}.$

Como $\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}\rightarrow 0$ , o comportamento de $u_{n}$ para $n$ suficientemente grande é dominado por $\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}$ — caso a solução seja crescente com $n$ [editado em 17-10-2008]– e a razão

$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n+1}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n+1}}{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}}$

tende por esse motivo para $17+12\sqrt{2}.\qquad \blacktriangleleft$

$\bigskip$

Referências
[1] FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

[2] SARRICO, Carlos, Análise Matemática, Leituras e exercícios, 3ª. ed., Gradiva, Lisboa, 1999.

[Correcção de 30-10-2008: nos termos gerais $u_n$ dos exercícios]

[Correcção de 30-11-2008: na resolução do exercício 3]

[7-12-2008: corrigido pdf]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer

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Esta entrada foi publicada em Análise Matemática, Caderno, Cálculo, Demonstração, Exercícios Matemáticos, Matemática, Matemáticas Gerais, Problemas, Recorrência, Sucessões, Teorema / Teoria com as etiquetas Caderno, Demonstração, Exercícios, Matemática, Problema, Prova, Sequências. ligação permanente.

4 respostas a Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Jotamo diz:

22 de Maio de 2011 às 13:41

Esta materia está certa ?

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  22 de Maio de 2011 às 13:47
  
  Se notou algum erro poderia indicá-lo?
cidalia da graca diz:

19 de Março de 2012 às 09:42

eu tinha duvidas
dessa materia mas ja entendi

Responder
mohamad diz:

15 de Abril de 2013 às 05:41

gostei da vossa formation

Responder

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