Arquivo da Categoria: Análise Complexa

Dois desenvolvimentos em série de Laurent

Na questão Finding the Laurent series of  Freeman perguntou como se determina a série de Laurent da função em  e . Tradução da minha resposta: A função pode desenvolver-se em duas fracções parciais Vamos desenvolver agora cada fracção numa série geométrica. … Continuar a ler

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Potências complexas

Na questão já antiga Understanding imaginary exponents do Mathematics Stack Exchange, friedo perguntou, entre outros, qual o significado de , em que  é um número real. Tradução da minha resposta: A exponencial complexa , com complexo, preserva a lei dos expoentes da exponencial real … Continuar a ler

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Dois métodos de cálculo de ζ(2)

Desta minha resposta no MSE. 1. Desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de Podemos usar a função com e determinar  o seu desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier que é periódico e converge para em . Reparando que é par, … Continuar a ler

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Integral real calculado pelo método dos resíduos com aplicação do lema de Jordan

Nesta questão do MSE EMKA perguntou como calcular o integral real pelos métodos da Análise Complexa. Apresento a tradução da minha resposta. Seja O resíduo de em é Designemos  o contorno da metade superior do disco , percorrido no sentido … Continuar a ler

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A função eta de Dirichlet e o prolongamento analítico da função zeta

Para valores reais a função zeta pode exprimir-se na forma (ver nota) em que a última série é a função  eta de Dirichlet . Dado que para esta série alterna é convergente (porque ), e para , a função pode … Continuar a ler

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Funcões trigonométricas inversas em termos das funções exponencial e logarítmica

Já sabia que as funcões trigonométricas directas se podem exprimir em termos da função exponencial complexa. Mas só recentemente aprendi que, acrescentando-lhe o logaritmo, o mesmo acontece com as funções trigonométricas inversas, que têm uma representação fechada nas funções exponencial … Continuar a ler

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Aplicação da transformada de Fourier à resolução de uma equação diferencial

Resolva a seguinte equação diferencial Resolução: Vou usar a definição seguinte: a transformada de Fourier da função é o integral Notação: represento a transformada pela mesma letra da função, mas maíuscula. Sabida a transformada de Fourier de uma função , a transformada inversa permite obter a … Continuar a ler

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Um integral de contorno que aparece num artigo célebre de Riemann da Teoria dos Números

(Foto da Wikipédia) Na memória de Bernhard Riemann «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Grösse» [Do número de primos inferiores a uma determinada grandeza], de 1859, — célebre nomeadamente por nela ser formulada pela primeira vez o que … Continuar a ler

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