Caderno

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 Caderno de problemas|teoremas, edição de 6 de Junho de 2009

(131 páginas)

 

Caderno do problemas|teoremas, edição de 6.6.09

Caderno do problemas|teoremas, edição de 6.6.09

Errata:

pág. 81, 14.4.:

Em vez de f(x)=\dfrac{\pi ^{2}}{4} deve ser:

f(x)=\dfrac{x^{2}}{4}.

Os integrais corrigidos são:

\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{2\pi }{n^{2}}\cos n\pi=\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2\pi }{n^{2}}

e

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\dfrac{x^{2}}{4}\cos nx\;dx

=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{1}{2\pi }\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2\pi }{n^{2}}=\left( -1\right) ^{n}\dfrac{1}{n^{2}}.

* * *

Se preferir pode consultar o mesmo conteúdo mas num formato diferente, a que chamo sebenta

(total: 184 páginas)

sebenta

Errata:

pág. 105:

Em vez de f(x)=\dfrac{\pi ^{2}}{4} deve ser:

f(x)=\dfrac{x^{2}}{4}.

Os integrais corrigidos são:

\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{2\pi }{n^{2}}\cos n\pi=\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2\pi }{n^{2}}

e

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\dfrac{x^{2}}{4}\cos nx\;dx

=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{1}{2\pi }\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2\pi }{n^{2}}=\left( -1\right) ^{n}\dfrac{1}{n^{2}}.

Testes do liceu da década de 1960

Problemas do Mês e Desafios

Última actualização desta página: 16-06-2015

30 respostas a Caderno

  1. José Lopes diz:

    Viva
    Sou professor do ensino secundário e queria agradecer-lhe por disponibilizar todos estes artigos (simples, interessantes e claros). Boa divulgação da Matemática.
    José Lopes

  2. Obrigado caro Prof. José Lopes. Se encontrar algum erro, por favor diga-me que eu agradeço-lhe.

  3. Gil Cleber diz:

    Prof. Américo:

    Pela capa acima, vejo que é a edição de fev/09.
    Existem outras edições? Como obtê-las?

  4. cremildo diz:

    good book

  5. Luís Felipe diz:

    Parabéns pelo site, Américo.
    É bom saber que há divulgadores da matemática internet afora.

  6. Camila diz:

    Parabéns pelo site, é de grande ajuda!

  7. Helder A C Pinto diz:

    Como obter o exemplo das funções cúbicas nas construções de Montanhas Russas
    Grato

    • Disse aqui que “No caso geral da função cúbica
      f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
      usando um método de resolução igual ao do exemplo, determina-se:
      – pontos de estacionaridade \left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right) e \left( x_{2},f\left( x_{2}\right) \right) , em que
      x_{1}=\dfrac{1}{3a}\left( -b+\sqrt{b^{2}+3ac}\right)
      e
      x_{2}=\dfrac{1}{3a}\left( -b-\sqrt{b^{2}+3ac}\right) ;
      – ponto de inflexão \left( x_{i},f\left( x_{i}\right) \right) com
      x_{i}=-\dfrac{1}{3a}b.
      Vê-se que
      x_{i}=\dfrac{1}{2}\left( x_{1}+x_{2}\right)
      e pode mostrar-se que
      f(x_{i})=\dfrac{1}{2}\left( f\left( x_{1}\right) +f\left( x_{2}\right) \right) .
      A ligação com a montanha russa parece-me ser que se tiver um troço da montanha que seja uma curva cúbica plana, deverá saber primeiro as coordenadas de quatro pontos para poder obter os coeficientes a,b,c e d da curva, ou então sabê-los directamente. A partir daí deverão verificar-se as relações indicadas:
      x_{i}=\dfrac{1}{2}\left( x_{1}+x_{2}\right)
      e
      f(x_{i})=\dfrac{1}{2}\left( f\left( x_{1}\right) +f\left( x_{2}\right) \right) .

  8. alessandro diz:

    otimo site , gostei muito.
    espero que continue com ele por muito tempo.
    ele está sendo de boa ajuda.
    sou estudante de fisica e de matematica.
    muito bom mesmo.

  9. Pedro Cunha diz:

    Muitos parabens.

    Sou estudante e nunca tinha encontrado um blogue deste genero tao bem elaborado.

    Universidade do Minho MICOM

  10. Larry diz:

    WWWWWWWWWWWWWwwwwwoooooww o/
    Matemática esta no sangue! e ver tudo, ou mesmo ate o momento parte do todo que existe neste site me facina! PARABENS, gostaria de saber se existe algum topico/pagina com demonstração de Fourier o/ , estudo la no col para achar a sona de senoides, mas nunca o profº pode demonstrar :/
    Obrigado por tudo, Abraço e P A R A B E N S ^^

    • Se se refere à transformada de Fourier, só tenho um problema não resolvido. Quanto à série de Fourier tenho seis entradas. basta procurá-las no “search” ou na categoria “Análise de Fourier”.

      Mais uma vez obrigado e um abraço também.

  11. AIRES C MOREIRA diz:

    Permita-me cumprimentá-lo pelo magnífico trabalho que está fazendo. Sem dúvida é um trabalho brilhante. Como pesquisador, tenho acompanhado e dissecado seus trabalhos, recebidos nos últimos tempos. Isto, em um grupo de professores de matemática e física. Em momento oportuno, passarei o email de mais colegas, aos quais tenho apresentado suas publicações por este meio de divulgação. Enquanto tantos utilizam este espaço para trivialidades, o amigo faz deste, um meio de divulgação de conhecimentos. Sinceros parabéns. Não pare. Esperamos novas publicações.
    Att
    Aires c Moreira.

    • Caro Aires Moreira,

      Agradeço os seus cumprimentos e as suas palavras.
      Com tempo penso actualizar este “Caderno”, que já é de há mais de um ano.

      Se o amigo ou algum dos seus colegas pretender enviar um qualquer texto, é com pazer que o publicarei.

      Atenciosamente

      Américo Tavares

  12. josé filho diz:

    Olá Américo, é um grande prazer,
    queria que você mim enviasse uma fórmula simples de fazer um pentágono apartir de um círculo (desenho geométrico).

  13. Júlio Lopes diz:

    Sr. Américo Tavares,
    Foi bem proveitoso o conteúdo destes para eu aplicar na minha área, sou estudante de engenharia civil, tenho matemática até o ultimo período do curso, logo, venho através deste agradecer pelo conteúdo obtido nesta com total aproveitamento.

    Um Grande Abraço,

    Júlio Lopes
    Engenharia Civil – UGB.

  14. Dyllway Carlos diz:

    A matemática corre no meu sangue! e ver tudo que você posta, ou mesmo parte do todo que existe neste site é fascinante! gostaria de saber como postar:
    1. Questões de Matemática de nível Secundário.
    2. Questões de Matemática de nível Básico.
    3. Questões de Matemática de nível Superior.
    4. Sr. Américo você usa o LATEX? se não como postar fórmulas neste SITE?

    Permita-me cumprimentá-lo pelo magnífico trabalho que está fazendo. Sem dúvida é um trabalho brilhante. Como estudante, tenho acompanhado e dissecado seus trabalhos, recebidos nos últimos tempos. Isto, em um grupo de estudantes de matemática e física. Em momento oportuno, passarei o e-mail de mais colegas, aos quais tenho apresentado suas publicações por este meio de divulgação. Enquanto tantos utilizam este espaço para trivialidades, o amigo faz deste, um meio de divulgação de conhecimentos. Sinceros parabéns. Não pare. Esperamos novas publicações.
    Att.
    Dyllway Carlos.

    • Pedro diz:

      Quanto a sua pergunta sobre latex, para incluí-lo neste blog é necessário usar “" para começar a formatação e " ” para terminar a formatação.

    • Pedro diz:

      “$_l_a_t_e_x” para começar e “$” para terminar, sem as aspas e underline.

    • Obrigado, Dyllway Carlos:

      Sobre o LaTeX reproduzo aqui, com algumas adaptações, quase todo o meu primeiro post:

      Escrita matemática (exemplos em LaTeX): a sintaxe é a seguinte

      $latex código-latex-da-fórmula$

      ou seja, os comandos do LaTeX, escritos entre dois $, antecedido por “latex”. Para uma Introdução ao LaTeX, ver em inglês, aqui.

      A sintaxe é a indicada em

      http://faq.wordpress.com/2007/02/18/can-i-put-math-or-equations-in-my-posts/ .

      Exemplo 1: “$latex \displaystyle\frac{p}{q}$” dá

      \displaystyle\frac{p}{q}

      Exemplo 2: “$latex \left|\dbinom{V}{2}\right|=\dbinom{|V|}{2}$” dá

      \left|\dbinom{V}{2}\right|=\dbinom{|V|}{2}

      Exemplo 3: “$latex \log(1+t)=\displaystyle\frac{t|}{|1}+\frac{t|}{|2-t}+\frac{4t|}{|3-2t}+\frac{9t|}{|4-3t}+{\cdots}+\frac{n^{2}|}{|( n+1) -nt}+{\cdots}$” dá

      \log(1 + t)=\displaystyle\frac{t|}{|2 -t}+\frac{4t|}{|3 - 2t}+\frac{9t|}{|4 - 3t}+{\cdots}+{\frac{n^{2}|}{|(n + 1) - nt}}+{\cdots}

      Exemplo 4: “$latex \LaTeX&s=1$” dá

      \LaTeX

      Nota: s=1 significa \large.

      Ver http://faq.wordpress.com/2007/02/18/can-i-put-math-or-equations-in-my-posts/

      Exemplo 5: Com o código apropriado — $latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$ , podemos escrever

      \displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

      Ver ainda SPM – Gazeta Nº 141, Matemática na Internet com o LaTex de D. F. Marado Torres

      Observações

      Os símbolos e fórmulas indicadas foram aumentados para uma melhor leitura através dos comandos LaTeX

      \displaystyle antes do comando da fracção (\frac{}{}), do somatório (\sum_{}^{})

      \dbinom{}{} em vez do comando normal do coeficiente binomial (\binom{}{})

      Retirando o comando \displaystyle e substituindo \dbinom{}{} por \binom{}{} fica

      Exemplo 1: “$latex \frac{p}{q}$” dá

      \frac{p}{q}

      Exemplo 2:$latex \left|\binom{V}{2}\right|=\binom{|V|}{2}$
      \left|\binom{V}{2}\right|=\binom{|V|}{2}

      Exemplo 3: $latex \log(1+t)=\frac{t|}{|1}+\frac{t|}{|2-t}+\frac{4t|}{|3-2t}+\frac{9t|}{|4-3t}+{\cdots}+\frac{n^{2}|}{|( n+1) -nt}+{\cdots}$

      \log(1 + t)=\frac{t|}{|2 -t}+\frac{4t|}{|3 - 2t}+\frac{9t|}{|4 - 3t}+{\cdots}+{\frac{n^{2}|}{|(n + 1) - nt}}+{\cdots}

      Exemplo 4:$latex \LaTeX&s=1$

      \LaTeX

      Nota: s=1 significa \large.

      Exemplo 5: Com o código apropriado — $latex \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\binom{N}{k}\binom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\binom{2k}{k}}$ , podemos escrever

      \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\binom{N}{k}\binom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\binom{2k}{k}}

      Para garantir que os símbolos matemáticos são escritos a preto, em vez de cinzento, é necessário acrescentar, no fim, a todos, o código &fg=000000 .

      OS MESMOS EXEMPLOS A PRETO (sufixo &fg=000000):

      Exemplo 1: “$latex \displaystyle\frac{p}{q}&fg=000000$” dá

      \displaystyle\frac{p}{q}

      Exemplo 2: “$latex \left|\dbinom{V}{2}\right|=\dbinom{|V|}{2}&fg=000000$” dá \left|\dbinom{V}{2}\right|=\dbinom{|V|}{2}

      Exemplo 3: “$latex \log(1+t)=\displaystyle\frac{t|}{|1}+\frac{t|}{|2-t}+\frac{4t|}{|3-2t}+\frac{9t|}{|4-3t}+{\cdots}+\frac{n^{2}|}{|( n+1) -nt}+{\cdots}&fg=000000$” dá

      \log(1 + t)=\displaystyle\frac{t|}{|2 -t}+\frac{4t|}{|3 - 2t}+\frac{9t|}{|4 - 3t}+{\cdots}+{\frac{n^{2}|}{|(n + 1) - nt}}+{\cdots}

      Exemplo 4: “$latex \LaTeX&s=1&fg=000000$” dá

      \LaTeX

      Exemplo 5: Com o código apropriado — $latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}&fg=000000$ , podemos escrever

      \displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

      Link: blogue sobre LaTeX avançado: LATEX O que vou aprendendo, de Antero Neves

      Pode ver mais exemplos de utilização do LaTeX clicando na categoria LaTeX disponível na barra lateral.

  15. Manuel Tavares diz:

    Sou um adulto que resolveu estudar matemática para evitar o tédio da reforma.
    Obrigado pela ajuda.
    Manuel Tavares

  16. O senhor já calculou o comprimento do segmento da tangente à astróide compreendido entre os eixos coordenados?

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