6.º ano do liceu

18-11-1966

I

Se for x=2,394... e y=0,213..., calcular por defeito e por excesso o produto x\cdot y. Até que a aproximação merecem confiança os resultados? A quantas milésimas é inferior o erro dos valores obtidos?

II

a) Calcule na forma a+bi o valor da expressão:

\dfrac{\left( 2+\sqrt{-2}\right) ^{4}}{1+i}

b) Efectue as operações indicadas na expressão seguinte, apresentando o resultado na forma a+bi

\dfrac{i^{17}+3i^{8}}{3-i}

c) Demonstre que o produto dos números \alpha\cdot\beta é zero quando nulo é pelo menos um dos factores.

d) Demonstre que a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo.

III

Considere a função real de variável real

y=\dfrac{3+x}{\sqrt{x^2-4}}

a) Classifique a função.

b) Determine o domínio de existêcia.

c) Determine o zero da função.

d) Determine a função inversa da função dada.

IV

a) No \triangle \left[ ABC\right] , rectângulo em N,BC=8, AC=x e a projecção de AB sobre BC é y. Exprima y como função de x .

b) Dada a função y=-2x+7 determinar o intervalo no qual o módulo da função é melhor que 0,01

* * *

25-11-1966

I

a) Calcule \dfrac{2i^9+5i^{10}}{i^{43}-i^0}

b) Considere: a=2,012\dots b=1,457\dots

Calcule a\cdot b com o maior número possível de algarismos exactos. Calcule o limite superior do erro que se comete ao tomar para valor de a\cdot b o número considerado.

II

Considere a função:

y=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x}

a) Calcule o domínio da função.

b) Calcule a função inversa.

c) Defina função inversa de uma dada função.

III

a) Represente graficamente a função:

f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc}x-2 & \text{para valores de} & x<2 \\ 1 & \text{para valores de} & x=2 \\ 2-x & \text{para valores de} & x>2\end{array}\right.

b) Diga em que intervalo é crescente a função considerada na alínea anterior e justifique.

IV

a) Diga quando é que a variável U_n é um infinitamente grande. Dê um exemplo.

b) Demonstre que: se U_n é um infinitamente grande \dfrac{1}{U_n} é um infinitésimo.

V

Um quadro de lado x está inscrito num círculo. Exprima como função de x a área y do círculo.

17-2-1967

I TEORIA

1) Prove que toda a função que tem derivada finita num dado ponto é contínua nesse ponto.

2) Demonstre que a derivada da soma de duas ou mais funções é sempre igual à soma das derivadas das funções dadas (onde estas tiverem derivada finita).

3) Se lhe pedirem para determinar a derivada duma função, soma das duas funções, num ponto onde uma das funções parcelas não tivesse derivada aplicaria a regra anterior? Diga como faria e justifique.

II PRÁTICA

1) Aplicando a definição de derivada, calcule a derivada da função

y=5x^{2}-2x

2) Calcule os limites laterais da função

Y=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x^{2}-x}

para x=0; e conclua daí se a função é ou não contínua no ponto zero.

3) Um rectângulo está inscrito num semicírculo de raio fixo, r. Exprimir a área, A, do rectângulo, como funções da base, x. Determine o valor de x para o qual a área é máxima.

* * *

8-3-1967

1) Considere a função de variável real x definida pela fórmula

f(x)=x^r-3x-2

a) Prove que f(-1) é um máximo relativo da função.

b) Calcule \underset{x\rightarrow -1}{\lim }\dfrac{f(x)}{f^{\prime }(x)}

2) Derive as seguintes funções

a) y=\dfrac{2x^3-3}{1-2x}

b) y=\dfrac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}

c) y=\sqrt[5]{\dfrac{x}{x-1}}

3) Dentre os triângulos rectângulos cuja hipotenusa mede 8 metros qual é aquele que tem a área máxima.

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