Problema simples resolvido sobre idades de pais e filhos

Um casal e os seus dois filhos têm conjuntamente 85 anos. A filha é mais velha cinco anos do que o irmão e o pai mais dois do que a mãe. Calcular a idade actual de cada um sabendo que daqui a dois anos a mãe tem o triplo da idade da filha.

Resolução

Se designar por x a idade actual da filha, o filho tem agora x-5 anos. Se a idade actual da mãe for y, a do pai será y+2. Daqui a dois anos a idade da mãe será y+2 e a da filha x+2. Pelo enunciado sabe-se que

y+2=3(x+2)

que é equivalente a

y=3x+4 (1)

E também se sabe que a soma das idades é igual a 85:

x+(x-5)+y+(y+2)=85 (2)

Substituindo a equação (1) em (2) vem

x+(x-5)+3x+4+(3x+4+2)=85

ou, de forma equivalente

x+x+3x+3x=85+5-4-4-2

8x=80

x=10.

A idade actual da filha é então de 10 anos e a do irmão 5. A mãe tem agora 

y=3x+4=34 anos

e o pai 36.

Confirmando: 36+34+10+5=85 e 34+2=3\times (10+2)=36.

ADENDA DE 28-8-2008: Outro método de resolução poderá ser o que passo a expor, que necessita apenas da resolução de uma equação numa única variável. Acho, no entanto, que até é mais difícil do que o anterior.

Se x for a idade actual da filha do casal, a do filho é x-5. Daqui a dois anos a idade da filha será x+2 anos e a da mãe 3(x+2), pelo que a mãe hoje tem 3(x+2)-2=3x+6-2=3x+4 anos e o pai 3x+4+2=3x+6. Em resumo, as idades actuais dos filhos e dos pais são:

x, a da filha; x-5, do filho; 3x+4, da mãe; 3x+6, do pai.

Somando todas as idades há-de dar 85:

x+x-5+3x+4+3x+6=85

Agrupando os termos em x e os independentes da equação vem:

8x=80
x=\dfrac{80}{8}=10.
A fiha tem pois 10 anos, o filho 10-5=5, a mãe 3(10)+4=34 e o pai 3(10)+6=36.

40 thoughts on “Problema simples resolvido sobre idades de pais e filhos

  1. Oi eu so a Victória Kao e gostei muito das perguntas e eu fiz de cabeça a conta adorei muito se vocês puderem mandaram mais calculos avancados por e-mail eu iria agradecer e fazer mais perguntas pq esse site é muito bom para aprender sobre a matemática !!!!! Adorei muito beijos

  2. Os problemas das idades são ideais para os alunos se familiarizarem com a natureza extremamente sintética da nomenclatura algébrica, como bem ficou patente no exemplo. Extripadas de relações não essenciais, chegamos a expressões como:
    x (elemento genérico de um conjunto, variável) – no caso, a idade da filha
    x+2 a idade da mesma pessoa daqui a dois anos
    x-5 a idade do irmão mais novo
    e por aí adiante.
    Relações como:
    dobro, triplo, quádruplo (multiplicativas): 2x, 3x, 4x
    metade, terço, quarto (fraccionárias): x/2, x/3, x/4
    muito importante: é (ou outro verbo): =
    fariam uma bela tabela de “tradução algébrica” da linguagem corrente.
    Parabéns pela escolha do exercício.
    Continuação de boas festas.

  3. Victória,

    Fiquei contente com o que me disse. Sobre perguntas, testes, questões ou exercícios adicionais não tenho tempo de os conceber de forma original e útil, para além do que aqui vou publicando.

    António,

    De forma intencional preparei este post de maneira a dar mais ênfase ao processo de pôr o problema em equação(ões) do que a resolvê-la(s). Por isso, utilizei um exemplo numericamente simples.
    Penso que funcionou, pelo teor do comentário anterior.
    Concordo com o que diz e obrigado pelos parabéns.

  4. Seja n o número de anos ao fim dos quais o pai terá o dobro da idade do filho. Como a idade actual do filho é 12, daqui a n anos será n+12 e a do pai, n+42. A idade do pai (n+42) será dupla da do filho (n+12), pelo que n+42=2(n+12). Esta equação é equivalente a n+42=2n+24, ou a 42-24=2n-n, ou ainda a 18=n. Confirmando, daqui a 18 anos o pai terá 18+42=60 e o filho, 18+12=30, metade da idade do pai.

  5. Gostaria da resposta desse desafio: oliveira tem três filhos: Alencar, Artur e Antônio. A idade de Alencar é 3 vezes maior que a idade de Artur e a idade de Antônio é 5 vezes menor que a idade de Artur. Se a idade de Artur é 15 anos , responda: Qual a idade de Alencar e de Antônio?

    • hoje o pai 53 anos pois há 14 anos ele tinha o triplo da idade do filho(13anos), 39 anos + 14 anos =53 anos

  6. Como resolver . Atualmente a soma das idades de dois irmãos é 17 anos. Daqui a 5 anos o irmão mais velho terá 14 anos.
    Qual será a idade do irmão mais novo?

    • se o + velho daqui a 5 anos terá 14 anos , então 14-5=9 anos atualmente que o +velho tem; 17 anos(que é a soma das idades dos dois atualmente) menos 9 é igual a 8 que é a idade atual do + novo e daqui a 5 anos ele terá 13 anos de idade

  7. como se resolve este: João tem 48 anos e seus filhos têm 16 e 18 anos. Quantos anos terá o filho mais velho quando a
    idade de João for igual à soma das idades de seus filhos?

    • n + 48 = 2 n+ 34
      n = 14 isso acontecerá a 14 anos
      18 + 14 = 32 anos filho mais velho
      16 + 14 = 30 anos filho mais novo
      14 +48 = 62 idade do pai

  8. como resolver essa: No dia 12 de abril de 2014,Paula e Ana comemoraram seus aniversários.Nessa data,a idade que Paula tem equivale ao triplo da idade que Ana tinha no dia 12 de abril de 1994, sabendo que a idade que Paula tinha no dia 12 de abril de 1994 equivale á idade que Ana tem no dia 12 de abril de 2014, calcule a soma das idades que Ana e Paula têm no dia 12 de abril de 2014.

  9. Caros comentadores,

    Mais uma vez peço para que não utilizem as caixas de comentários para pedir ajuda sobre a resolução de um dado problema, quase sempre faltando o contexto em que ele aparece e sem indicarem as tentativas que fizeram para o resolver. Na maioria das vezes não respondo ou remeto o leitor para o site de perguntas e respostas, em inglês, Mathematics Stack Exchange, onde quaisquer problemas matemáticos são bem recebidos, desde que quem coloca a questão mostre o esforço já efectuado para a resolver e não se limite a apresentar um mero enunciado de um problema.

    Também chamo à atenção que os problemas que não têm a ver com o assunto de cada uma das entradas sejam colocados nos comentários da página Problemas dos leitores, que aí poderão eventualmente serem respondidos, mas sem qualquer garantia, como lá explico:

    «Os problemas que os leitores aqui coloquem, poderão eventualmente ser respondidos por outros leitores ou por mim, sem qualquer compromisso firme da minha parte por manifesta falta de tempo, da natureza deste blogue e/ou falta de conhecimentos.»

    • Admito que tenha pretendido escrever:

      ” a soma da idade da minha idade, com a idade da minha filha é de 47 anos, sendo que eu sou mais velha do que ela 41 anos. quantos anos minha filha tem de idade”

      A resolução pode ser, por exemplo, a seguinte:

      Se m designar a idade da mãe e m, a da filha, a equação

      m+f=47\qquad(1)

      traduz a informação de que “a soma da idade da minha idade, com a idade da minha filha é de 47 anos”; e a equação

      m=f+41\qquad(2),

      a informação de que “sou [a mãe] mais velha do que ela [a filha] 41 anos”. Substituindo (2) em (1), ficamos com a equação

      f+41+f=47\qquad(2),

      que resolvida dá f=3. Ou seja a filha tem 3 anos.

      Alternativamente poderia escrever as somas e diferenças seguintes

      41+6=47, 41-6=35,
      42+5=47, 42-5=37,
      43+4=47, 43-4=39,
      44+3=47, 44-3=41,\quad(\ast)
      45+2=47, 45-2=43,

      para ver que a mãe há-de ter 44 anos e a filha 3

  10. Maria e Ana são irmãs gêmeas e quando nasceram seu
    pai tinha 18 anos, se hoje a soma das idades das irmãs
    e do pai é de 78 anos, então a idade do pai da gêmeas
    hoje é de

  11. Olá, gostaria de saber a resposta deste probleminha.
    Sérgio tem 59 anos, e seu filho João tem 31. Quantos anos vai ter Sérgio, quando João tiver a metade da sua idade?

  12. Olá,gostaria de saber a resposta do seguinte problema; ” Em 2009 Sofia tinha um quarto da idade de Cecília. Em 2011 Cecília tinha o dobro da idade de Sofia. Em que ano Sofia nasceu”

Deixar uma resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

WordPress.com Logo

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Log Out / Modificar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Log Out / Modificar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Log Out / Modificar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Log Out / Modificar )

Connecting to %s