Regra de Leibniz de diferenciação de um integral paramétrico e sua generalização

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Suponhamos que temos o integral que é  função  do parâmetro t

I(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx

A sua diferenciação baseia-se na seguinte

Proposição (regra de Leibniz): Sejam f\left( x,t\right) uma função real definida num rectângulo R= \left[ a,b\right] \times \left[ c,d\right] \in\mathbb{R}^{2}  integrável em x  para cada valor real de t  e \dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}  a sua derivada parcial contínua em x e t no mesmo rectângulo. A derivada do integral função do parâmetro t

I(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx

é dada por

I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx.

\bigskip

Usei-a  aqui.

Neste caso os limites de integração são constantes. A generalização a um integral do tipo

I(t)=J(u,v,t)=\displaystyle\int_{u(t)}^{v(t)}f\left( x,t\right) dx,

em que o parâmetro ocorre também nas funções  u\left( t\right) e v\left( t\right) dos limites de integração, é uma consequência do teorema fundamental do cálculo integral para uma função, na sua forma habitual

\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}g\left( t\right) dt=g\left( x\right)

e nesta dela derivada

\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x}^{b}g\left( t\right) dt=-\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{b}^{x}g\left( t\right) dt=-g\left( x\right)

bem como da regra de derivação da função composta. A derivada passa a ser

I^{\prime }(t)=\dfrac{dI}{dt}=\dfrac{\partial J}{\partial t}\dfrac{dt}{dt}+\dfrac{\partial J}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{\partial J}{\partial u}\dfrac{du}{dt}

ou

I^{\prime }(t)=\left( \dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{dt}{dt} +\left( \dfrac{\partial }{\partial v}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{dv\left( t\right) }{dt} +\left( \dfrac{\partial }{\partial u}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{du\left( t\right) }{dt}

Assim

I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime}\left( t\right) .

\bigskip

Problema: determine a derivada I^{\prime }(t) do integral

I(t)=J(2t,t^{2},t)=\displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}e^{tx}dx

Resolução: neste caso f\left( x,t\right) =e^{tx},u\left( t\right) =2t e v\left( t\right) =t^{2}. As derivadas são

v^{\prime }\left( t\right) =2t\qquad\qquad u^{\prime }\left( t\right) =2

\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}=\dfrac{\partial }{\partial t}e^{tx}=xe^{tx}

e os valores da função  integranda são  calculados em \left( v,t\right) e \left( u,t\right)

f\left( v\left( t\right) ,t\right) =e^{t\cdot t^{2}}=e^{t^{3}}

f\left( u\left( t\right) ,t\right) =e^{t\cdot 2t}=e^{2t^{2}}

donde

I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime }\left( t\right) =\displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}xe^{tx}dx+2te^{t^{3}}-2e^{2t^{2}}

=\dfrac{e^{t^{3}}\left( 3t^{3}-1\right) -e^{2t^{2}}\left( 4t^{2}-1\right) }{t^{2}}\qquad \blacktriangleleft

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Regra de Leibniz de diferenciação de um integral paramétrico e sua generalização

  1. Jaqueline Orthmann diz:

    boam dia eu gostaria que vcs me explica-se como resolver a Integral definida pois eu nao entendi bom… espero uma ajuda

    Jaqueline Orthmann

    • Jaqueline Orthmann

      Daqui boa tarde.

      Utilizei o método de integração por partes para calcular

      \displaystyle\int xe^{tx}dx=x\dfrac{e^{tx}}{t}-\displaystyle\int \dfrac{e^{tx}}{t}dx=x\dfrac{e^{tx}}{t}-\dfrac{1}{t^{2}}e^{tx} =\dfrac{1}{t^{2}}\left( txe^{tx}-e^{tx}\right)

      visto que

      \displaystyle\int e^{tx}dx=\displaystyle\int \dfrac{e^{tx}}{t}dx

      e

      \dfrac{d}{dx}x=1.

      Logo

      \displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}xe^{tx}dx=\left[ \dfrac{1}{t^{2}}\left( txe^{tx}-e^{tx}\right) \right] _{2t}^{t^{2}}=\dfrac{1}{t^{2}}\left( \left( t^{3}e^{t^{3}}-e^{t^{3}}\right) -\left( 2t^{2}e^{2t^{2}}-e^{2t^{2}}\right) \right)

      e

      I^{\prime }(t)=\dfrac{1}{t^{2}}\left( \left( t^{3}e^{t^{3}}-e^{t^{3}}\right) -\left( 2t^{2}e^{2t^{2}}-e^{2t^{2}}\right) \right) +2te^{t^{3}}-2e^{2t^{2}}

      que se pode apresentar na forma indicada.

      Espero ter sido claro.

  2. Renato Anselmo diz:

    Muito obrigado pela explicação.

    Por algum motivo, esse assunto é ‘difícil’ de se encontrar nos livros, e na internet!
    Obrigado novamente.

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