A função inversa de uma função composta

Em How to find inverse of a composite function? (no MSE) fahad pede para verificar o seguinte teorema

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

no caso de A=B=C=\mathbb{R} e as funções f\colon A\to B e g\colon B\to C serem definidas por f(a)=2a+1, g(b)=b/3.

Eis a tradução da minha resposta:

f,g são as funções definidas na questão.

Tem-se

b=f(a)=2a+1,

ou de forma equivalente, por definição da função inversa f^{-1}

a=\dfrac{b-1}{2}=f^{-1}(b).\qquad\qquad (A)

Dado que

c=g(b)=\dfrac{b}{3},

ou de forma equivalente, por definição da função inversa g^{-1}

b=3c=g^{-1}(c),\qquad\qquad(B)

combinando (A) e (B), obtemos

a=\dfrac{3c-1}{2}=(f^{-1}\circ g^{-1})(c).\qquad (1)

Por outro lado

c=(g\circ f)(a)=g(f(a))=g(2a+1)=\dfrac{2a+1}{3}.\qquad (2)

Assim, por definição, o valor em c da função inversa (g\circ f)^{-1}, é

a=\dfrac{3c-1}{2}=(g\circ f)^{-1}(c).\qquad (3)

De (1) e (3) conclui-se que para estas funções f,g e as suas inversas f^{-1},g^{-1} se verifica a seguinte identidade:

(f^{-1}\circ g^{-1})(c)=(g\circ f)^{-1}(c).\qquad (4)

Nota sobre notação: (f^{-1}\circ g^{-1})(c)=f^{-1}(g^{-1}(c)).

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a A função inversa de uma função composta

  1. Paulo Roberto de Barros diz:

    Seria interessante trabalharmos também a composta da inversa de outra inversa, ou a composta da inversa da inversa de outra função.

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