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Roger Apéry (1916-1994) surpreendeu a comunidade matemática com a sua genial demonstração de que o número real representado pela série
é irracional. Escolheu para a apresentar a forma de uma conferência proferida em Junho de 1978 nas “Journées Arithmétiques” de Marseille-Luminy. Utilizou um método elementar, mas que estava repleto de fórmulas complicadas e, na altura, inesperadas, sendo igualmente aplicável à série, conhecida de Euler (1707-1783),
.
A exposição de Apéry foi acolhida com manifestações de dúvida, porventura pela estranheza provocada pela natureza das fórmulas, à primeira vista nada evidentes, e por utilizar essencialmente um método digno de Euler. Dois meses mais tarde, no Congresso Internacional de Matemáticos, H. Cohen fez uma exposição curta da demonstração, incorporando ideias suas e de D. Zagier e Apéry referiu a motivação que esteve por de trás do seu método.
Sob a forma escrita, a demonstração de Apéry pelo próprio, data de 1979 [1] . A. van der Poorten publicou, também nesse ano, um relatório informal bastante pormenorizado e uma descrição muito viva destes acontecimentos [2]. F. Beukers apareceu, ainda em 1979, com uma elegante e mais curta demonstração da irracionalidade de [3]. Em homenagem a Apéry, a série passou a ser conhecida por constante de Apéry.
Como é sabido, os números reais podem ser classificados em números racionais, que são aqueles que podem ser expressos por fracções (ou razões) de números inteiros (por exemplo ) e os que não podem, os chamados números irracionais (por exemplo ). Há dois tipos distintos de irracionais: os algébricos e os transcendentes. Os algébricos são zeros (ou raízes) de um polinómio de coeficientes racionais (por exemplo , visto que verifica a equação ), os transcendentes não.
Não se sabe se a constante de Apéry, , é transcendente. O mais conhecido de todos os irracionais, o , é transcendente como foi demonstrado por F. Lindemann em 1882. A transcendência da base dos logaritmos naturais, , foi provada em 1873 por C. Hermite. Quanto a , Euler demonstrou que era igual a , logo transcendente, porque todas as potências inteiras de são transcendentes.
Euler, por analogia com a factorização de um polinómio de grau n com zeros
,
muito embora tenha uma infinidade de zeros (), teve a intuição de aplicar este conceito a esta função cujo desenvolvimento em série de Taylor é
fazendo
O factor resulta de . Igualando os coeficientes do termo em , vem
,
o que dá . Embora não seja ainda uma verdadeira demonstração, Euler veio a efectuá-la mais tarde, depois de verificar que a mesma não era desmentida numericamente. Para , obteve o resultado e descobriu a fórmula geral de , que é um múltiplo racional de , isto é, é racional. Daqui se conclui que é transcendente.
Quanto a , para , ainda não se conseguiu demonstrar a sua irracionalidade ou racionalidade. Mas já se sabe, por exemplo, que há uma infinidade de valores de que são irracionais.
A função zeta de Riemann é tradicionalmente designada por , com complexo. A função é definida nos reais, para pela série
.
Gráfico de
A estrutura geral da demonstração de Apéry baseia-se na construção de duas sucessões cuja razão converge para por valores inferiores: uma de inteiros e outra de racionais , as duas verificando a mesma relação de recorrência, mas geradas por condições iniciais distintas. A sucessão é tal que multiplicando pelo termo geral duma terceira sucessão de inteiros se obtém o termo geral de uma sucessão de inteiros . A aproximação racional a ,
(com )
tem uma velocidade tal que permite concluir a irracionalidade de .
Na demonstração de Beukers, o raciocínio é semelhante, com a grande diferença das fórmulas definidoras das sucessões de inteiros e de racionais, que são dadas por integrais, enquanto que nas de Apéry aparecem coeficientes binomiais. Por exemplo,
são os chamados números de Apéry (associados a ).
Numericamente, tem-se
,
e
.
Referências
[1] R. Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 1979, 11-13.
[2] A. van der Poorten, A Proof that Euler Missed…, Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, Math. Intelligencer 1, nº 4, 1978/79, pp. 195-203. (aqui e aqui)
[3] F. Beukers, A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3), Bull. Lond. Math. Soc. 11, nº 33, 1978, pp. 268-272. (aqui)
Ver também http://wain.mi.ras.ru/zw/
Poste muito bom, professor!
Abraço.
Caro Ítalo
Obrigado por este seu comentário e ou outros dois que fez hoje. Já agora, se vir na página “Acerca de”, ficará a saber que sou um eng. reformado que gosta de Matemática.
Eu tinha visto! Nós, brasileiros, temos o costume de chamar todos que se dedicam a postar conteúdos didáticos de professores, mesmo que não sejam formados na área.
Sou um estudante de engenharia elétrica. Amo matemática! Resido em Salvador, Bahia, Brasil.
Abraço, sr. eng.!