## Números de Apéry

Qualquer que seja o inteiro $n\geq 0,$ mostre que

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^{2}\dbinom{n+k}{k}^{2}.$

Resolução

Para abreviar, e porque estes números são os chamados números de Apéry, vamos designá-los por $A_{n}$,

$A_{n}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}$$=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{n}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}$

atendendo a

$\displaystyle\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k},$

uma vez que as parcelas $i+1\leq k\leq n$ são todas nulas, em virtude de nesta condição $\dbinom{i}{k}=0$.

Multiplicando os membros da identidade da entrada “Uma proposição da análise combinatória” (aquipor

$\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k},$

vem

$\displaystyle\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n}^{2}=\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\sum_{i=k}^{n}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}.$

Somando agora em $k$, obtém-se sucessivamente

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n}^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}$$\displaystyle=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}$$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}$$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{n}\binom{i}{k}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}$

Ora,

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n}^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n-k}^{2}$ $\displaystyle=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}.$

Assim,

$\displaystyle A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^{2}\dbinom{n+k}{k}^{2}$

logo a proposição do enunciado está demonstrada. $\qquad\blacktriangleleft$

NOTA: veja aqui a versão inglesa

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## Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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