Números de Apéry

Qualquer que seja o inteiro n\geq 0, mostre que 

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^{2}\dbinom{n+k}{k}^{2}.

Resolução

Para abreviar, e porque estes números são os chamados números de Apéry, vamos designá-los por A_{n},

A_{n}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{n}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}

atendendo a

\displaystyle\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k},

uma vez que as parcelas i+1\leq k\leq n são todas nulas, em virtude de nesta condição \dbinom{i}{k}=0.

Multiplicando os membros da identidade da entrada “Uma proposição da análise combinatória” (aquipor

 \dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k},

 vem

\displaystyle\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n}^{2}=\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\sum_{i=k}^{n}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}.

Somando agora em k, obtém-se sucessivamente

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n}^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}\displaystyle=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}\displaystyle=\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}\binom{n}{i}^{2}\binom{i}{k}\displaystyle=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{n}\binom{i}{k}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{k}

Ora,

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n}^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{2n-k}{n-k}^{2} \displaystyle=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}.

Assim,

\displaystyle A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^{2}\dbinom{n+k}{k}^{2}

logo a proposição do enunciado está demonstrada. \qquad\blacktriangleleft

NOTA: veja aqui a versão inglesa

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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