Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

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Suponha que tem a seguinte relação

y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}

e que pretende calcular x para um dado valor de y. Por exemplo y=15.
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.

No caso geral tem-se uma equação não linear

f(x)=0

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais x_{1} e x_{2} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=2,3,\ldots ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right) e por \left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right) tem o coeficiente angular

m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

 e a sua equação é

y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}.

Cruza o eixo dos x no ponto de abcissa x_{3}

x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }

Se tomarmos agora a recta que passa pelos pontos \left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right) e \left( x_{3},y_{3}=f\left( x_{3}\right) \right) , chegamos à  intersecção com o eixo dos x na abcissa x_{4} dada por

x_{4}=x_{3}-f\left( x_{3}\right) \times\dfrac{x_{3}-x_{2}}{f\left( x_{3}\right) -f\left( x_{2}\right) }.

Em geral, para o inteiro k=2,3,4\ldots obtemos, por este método, a aproximação

x_{k+1}=x_{k}-f\left( x_{k}\right) \times\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right) }.

Para o exemplo inicial, se escolhermos x_{1}=0,05 e x_{2}=0,15, obtemos sucessivamente

 x_{3}=0,081350791,

 x_{4}=0,086390197,

 x_{5}=0,087335225,

 x_{6}=0,087320486,

 x_{7}=0,087320522,\ldots .

A função f(x) toma os valores f(x_{5})=0,001051291, f(x_{6})=-2,57456\times 10^{-6}, f(x_{7})=-9,9611\times 10^{-11}. O zero da função é  então cerca de 0,08732.

Este exemplo foi escolhido para calcular numericamente a taxa i a que devem ser depositadas anualmente, durante dez anos, quantias numa conta, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 15 anuidades.

Dada a fórmula aplicável a esta série uniforme

\dfrac{F}{A}=\dfrac{\left( 1+i\right) ^{10}-1}{10}=15,

a taxa de juro deve ser 8,732\%.

ADITAMENTO DE 31-12-2008: pode ver nesta entrada  outro  método  de determinação da raiz de uma equação não linear: o de Newton.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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