Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

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Se tiver uma equação  não  linear

f(x)=0

e pretender determinar numericamente um zero, pode utilizar o método da secante ou o de Newton que passo a expor. Pelo método de Newton partimos do valor inicial x_{1} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=1,2,,\ldots ) até  nos aproximarmos da solução  da equação. Paramos quando chegarmos à  aproximação pretendida.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)  é  dada pela equação:

y=f^{\prime }(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})

que intersecta o eixo dos x no ponto de abcissa x_{2}

x_{2}=x_{1}-\dfrac{f\left( x_{1}\right) }{f^{\prime }\left( x_{1}\right) }

Este valor permite gerar, pelo mesmo método, o novo valor

x_{3}=x_{2}-\dfrac{f\left( x_{2}\right) }{f^{\prime }\left( x_{2}\right) }

da abcissa do ponto de cruzamento da tangente a f(x) no ponto (x_{2},y_{2}=f(x_{2}))  e assim sucessivamente:

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }.

Como se vê  este método obriga ao cálculo da derivada da função  f(x).

Exemplo: Aplique o método de Newton na determinação de \sqrt{2}

\sqrt{2}  é  solução de x^{2}-2=0. Temos f(x)=x^{2}-2 e f^{\prime }(x)=2x, pelo que a iteração se faz aplicando sucessivamente

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{x_{i}^{2}-2}{2x_{i}}

Escolhendo x_{1}=1, vem

x_{2}=x_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}-2}{2x_{1}}=1-\dfrac{1-2}{2}=\dfrac{3}{2}

x_{3}=x_{2}-\dfrac{x_{2}^{2}-2}{2x_{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{3}{2}}=\dfrac{17}{12}

x_{4}=x_{3}-\dfrac{x_{3}^{2}-2}{2x_{3}}=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\left( \dfrac{17}{12}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{17}{12}}=\dfrac{577}{408}

x_{5}=x_{4}-\dfrac{x_{4}^{2}-2}{2x_{4}}=\dfrac{577}{408}-\dfrac{\left( \dfrac{577}{408}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{577}{408}}=\dfrac{665857}{470832}

A sucessão

1,\dfrac{3}{2},\dfrac{577}{408},\dfrac{665857}{470832},\dots\rightarrow \sqrt{2}

A velocidade de convergência é  boa:

\sqrt{2}-1=0,41421

\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}=-8,5786\times 10^{-2}

\sqrt{2}-\dfrac{17}{12}=-2,4531\times 10^{-3}

\sqrt{2}-\dfrac{577}{408}=-2,1239\times 10^{-6}

\sqrt{2}-\dfrac{665857}{470832}=-1,5949\times 10^{-12}

[Actualização de 4-4-2009: incluído exemplo]

 : : : : :

Do calendário dos Artistas Pintores com a boca e o pé  (Março de 2009) – “Amigas” de Chris Opperman. Citação de William Blake. 

meninas2009

Aproveito esta oportunidade para desejar um BOM 2009 a todos os visitantes e comentadores deste blogue.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

  1. nfaust diz:

    O método de Newton assim como outros métodos de iteração são muito importantes na resolução não lineares.
    Entender o significado geométrico/físico é sempre importante. No entanto convém sempre explorar exemplos práticos para mostrar a utilidade deste.

    Em suma, seria importante explorar neste post :

    1) Comparações do método de Newton com os métodos do ponto fixo, método dos gradientes conjugados et all (ordem convergência/ eficiência computacional)
    2) Exemplo onde o método de Newton usual falha (ex. f(x)=atan(x)).
    3) Possíveis modificações do método de Newton.

    Bom Ano

  2. Todas as questões que levanta são absolutamente pertinentes.

    Em termos de exemplos neste caso não apresentei nenhum, ao contrário do que fiz no método da secante, e do que gosto normalmente de fazer, e faço, por resultar comigo mais eficazmente do que sem eles.
    Mas também é certo que estou sempre a tempo de incluí-los, numa próxima actualização deste post, ou então num futuro post de continuação.
    A propósito, como verifico que os meus posts são, em regra, recorrentemente visitados, acontece que os vou também actualizando, corrigindo, aditando, mais do que é costume com outros bloggers.

    O ponto 2 teria sido importante tê-lo incluído logo de início.
    O ponto 1 irá sendo feito com o tempo à medida que for tratando dos vários métodos um a um e reunindo-os no “Caderno”.
    Quanto ao ponto 3, é já mais do domínio da “inovação/investigação”, e será mais difícil de atingir por mim, penso eu.

    Obrigado por ter arranjado tempo para me comentar.
    Mais uma vez óptimo 2009!

  3. Pingback: Fique por dentro Raiz » Blog Archive » Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear …

  4. Sara Cunha diz:

    Boa noite. Também tenho o Calendário de 2009 dos Artistas que pintam com a boca e o pé e, de facto, têm pinturas lindíssimas acompanhadas de frases tão sábias. Contudo, este foi-me oferecido por um familiar e, embora eu queira entrar em contacto com esta entidade que distribui os calendários, não encontro nenhuma referência para o fazer. Sabe dar-me alguma indicação nesse sentido, algum contacto?
    Peço desculpa pelo incómodo nas suas matemáticas e agradeço a atenção.

    Sara Cunha
    sarammcunha@gmail.com

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