Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

Publicado em 29 de Dezembro de 2008 por

pdf: ver caderno

Se tiver uma equação  não  linear

f(x)=0

e pretender determinar numericamente um zero, pode utilizar o método da secante ou o de Newton que passo a expor. Pelo método de Newton partimos do valor inicial x_{1} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=1,2,,\ldots ) até  nos aproximarmos da solução  da equação. Paramos quando chegarmos à  aproximação pretendida.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)  é  dada pela equação:

y=f^{\prime }(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})

que intersecta o eixo dos x no ponto de abcissa x_{2}

x_{2}=x_{1}-\dfrac{f\left( x_{1}\right) }{f^{\prime }\left( x_{1}\right) }

Este valor permite gerar, pelo mesmo método, o novo valor

x_{3}=x_{2}-\dfrac{f\left( x_{2}\right) }{f^{\prime }\left( x_{2}\right) }

da abcissa do ponto de cruzamento da tangente a f(x) no ponto (x_{2},y_{2}=f(x_{2}))  e assim sucessivamente:

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }.

Como se vê  este método obriga ao cálculo da derivada da função  f(x).

Exemplo: Aplique o método de Newton na determinação de \sqrt{2}

\sqrt{2}  é  solução de x^{2}-2=0. Temos f(x)=x^{2}-2 e f^{\prime }(x)=2x, pelo que a iteração se faz aplicando sucessivamente

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{x_{i}^{2}-2}{2x_{i}}

Escolhendo x_{1}=1, vem

x_{2}=x_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}-2}{2x_{1}}=1-\dfrac{1-2}{2}=\dfrac{3}{2}

x_{3}=x_{2}-\dfrac{x_{2}^{2}-2}{2x_{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{3}{2}}=\dfrac{17}{12}

x_{4}=x_{3}-\dfrac{x_{3}^{2}-2}{2x_{3}}=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\left( \dfrac{17}{12}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{17}{12}}=\dfrac{577}{408}

x_{5}=x_{4}-\dfrac{x_{4}^{2}-2}{2x_{4}}=\dfrac{577}{408}-\dfrac{\left( \dfrac{577}{408}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{577}{408}}=\dfrac{665857}{470832}

A sucessão

1,\dfrac{3}{2},\dfrac{577}{408},\dfrac{665857}{470832},\dots\rightarrow \sqrt{2}

A velocidade de convergência é  boa:

\sqrt{2}-1=0,41421

\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}=-8,5786\times 10^{-2}

\sqrt{2}-\dfrac{17}{12}=-2,4531\times 10^{-3}

\sqrt{2}-\dfrac{577}{408}=-2,1239\times 10^{-6}

\sqrt{2}-\dfrac{665857}{470832}=-1,5949\times 10^{-12}

[Actualização de 4-4-2009: incluído exemplo]

 : : : : :

Do calendário dos Artistas Pintores com a boca e o pé  (Março de 2009) – “Amigas” de Chris Opperman. Citação de William Blake. 

meninas2009

Aproveito esta oportunidade para desejar um BOM 2009 a todos os visitantes e comentadores deste blogue.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

  1. nfaust diz:
    30 de Dezembro de 2008 às 17:10

    O método de Newton assim como outros métodos de iteração são muito importantes na resolução não lineares.
    Entender o significado geométrico/físico é sempre importante. No entanto convém sempre explorar exemplos práticos para mostrar a utilidade deste.

    Em suma, seria importante explorar neste post :

    1) Comparações do método de Newton com os métodos do ponto fixo, método dos gradientes conjugados et all (ordem convergência/ eficiência computacional)
    2) Exemplo onde o método de Newton usual falha (ex. f(x)=atan(x)).
    3) Possíveis modificações do método de Newton.

    Bom Ano

    Responder
  2. Américo Tavares diz:
    30 de Dezembro de 2008 às 17:53

    Todas as questões que levanta são absolutamente pertinentes.

    Em termos de exemplos neste caso não apresentei nenhum, ao contrário do que fiz no método da secante, e do que gosto normalmente de fazer, e faço, por resultar comigo mais eficazmente do que sem eles.
    Mas também é certo que estou sempre a tempo de incluí-los, numa próxima actualização deste post, ou então num futuro post de continuação.
    A propósito, como verifico que os meus posts são, em regra, recorrentemente visitados, acontece que os vou também actualizando, corrigindo, aditando, mais do que é costume com outros bloggers.

    O ponto 2 teria sido importante tê-lo incluído logo de início.
    O ponto 1 irá sendo feito com o tempo à medida que for tratando dos vários métodos um a um e reunindo-os no “Caderno”.
    Quanto ao ponto 3, é já mais do domínio da “inovação/investigação”, e será mais difícil de atingir por mim, penso eu.

    Obrigado por ter arranjado tempo para me comentar.
    Mais uma vez óptimo 2009!

    Responder

  3. Pingback: Fique por dentro Raiz » Blog Archive » Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear …

  4. Sara Cunha diz:
    1 de Abril de 2009 às 19:53

    Boa noite. Também tenho o Calendário de 2009 dos Artistas que pintam com a boca e o pé e, de facto, têm pinturas lindíssimas acompanhadas de frases tão sábias. Contudo, este foi-me oferecido por um familiar e, embora eu queira entrar em contacto com esta entidade que distribui os calendários, não encontro nenhuma referência para o fazer. Sabe dar-me alguma indicação nesse sentido, algum contacto?
    Peço desculpa pelo incómodo nas suas matemáticas e agradeço a atenção.

    Sara Cunha
    sarammcunha@gmail.com

    Responder

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