Enigma dos produtos iguais

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ACTUALIZAÇÃO DE 18-9-2008: o leitor António Ferrão chegou à seguinte solução, quanto ao maior resultado possível do enigma a seguir enunciado:

915\times 64=732\times 80=58560

obtida através do programa escrito em PARI/GP indicado no comentário 3, que aqui reproduzo para o destacar e para uma visualização com indentação correcta de espaços (ver meu comentário 5).

Considerou

«expressões da forma: x*y=z*w, sendo x e z dois números decimais de quatro dígitos e y e w dois números decimais de três dígitos.
Condição: nenhum dígito se pode repetir em qualquer posição dos quatro números: x,y,z e w. A condição força a considerar todas as permutações dos dez dígitos, que se espalham entre os factores.
Número total de permutações: 10!=3628800.
Resultados do programa para determinação do produto mais elevado:
[10, 2, 6, 7, 5, 8, 4, 3, 9, 1]
915*64=732*80=58560
Os dígitos dos factores são extraidos da permutação reduzindo uma unidade. »

e separadamente da forma

«x e w com 5 dígitos e y e z com 1 dígito»

que conduz a um resultado inferior.

    

 Programa fonte para determinação do produto mais elevado

maxprod=0;
for (i = 0, 10!-1,perm=numtoperm(10,i);\
    x=(perm[1]-1)*100+(perm[2]-1)*10+(perm[3]-1);\
    y=(perm[4]-1)*10+(perm[5]-1);\
    w=(perm[6]-1)*100+(perm[7]-1)*10+(perm[8]-1);\
    z=(perm[9]-1)*10+(perm[10]-1);\
    p=x*y;\
    q=w*z;\
    if(p==q && p<maxprod,maxprod=p;\
      permmax=perm;\
      xmax=x;\
      ymax=y;\
      wmax=w;\
      zmax=z;\
    );\
  );\
  print(permmax);print(xmax,”*”,ymax,”=”,wmax,”*”,zmax,”=”,maxprod);\
quit;

 

* * *

A partir dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 constitua dois grupos de cinco dígitos todos diferentes entre si e disponha-os de modo a formar duas multiplicações cujo resultado seja igual.

Por exemplo

\Huge\square\; \square\; \square\; \times\square\; \square\; =\square\; \square\; \square\; \times\square\; \square

ou

\Huge\square\; \square\; \square\; \times\square\; \square\; =\square\; \square\; \square\; \square\; \times\square 

em que cada dígito aparece uma e uma só vez.

Encontre o menor e o maior resultados possíveis e os respectivos factores.

Os leitores que o entendam, poderão apresentar-me a solução, se possível justificada,  até 15 de Setembro de 2008 (com tolerância de duas semanas!), que publicarei.

Adaptado de Henry Dudeney, Os Enigmas de Canterbury, Biblioteca Desafios Matemáticos, RBA, 2008 (título original: The Canterbury Puzzles), Enigma 90, Os Cubos Numerados, onde se encontra uma exposição mais desenvolvida e as duas respostas, mas não a sua justificação.

[Editado em 15, 16 e 19-8-2008 com várias alterações.]

Actualização de 16-9-2008: alteração do enunciado.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a Enigma dos produtos iguais

  1. Sejam x,y,z,w quatro inteiros.
    Produtos da forma x*y=z*w; 99<x<1000; 9<y<100; 99<z<1000; 9<w<100:
    1) O maior é 97020, correspondente a 980*99=990*98
    2) O menor é 1100, correspondente a 100*11=110*10

    Produtos da forma x*y=z*w; 99<x<1000; 9<y<100; 999<z<10000; 0<w<10:
    1) O maior é 89991, correspondente a 909*99=0000*9
    2) o menor é 1000, correspondente a 100*10=1000*1

    O mérito coube ao 486

    /* File produtos.c */
    /* Resolucao de um problema de Americo Tavares no blog Problemas e Teoremas */
    /* Antonio Ferrao */
    /* Portela, 16 de Setembro de 2008 */

    #include
    #include

    int main(int argc, char *argv[])
    {
    long int x,y,z,w,p,x1,y1,w1,z1,x2,y2,z2,w2,p1,p2;
    p1=-1;
    p2=1000*100;
    for (x=100;x<1000;x++)
    for (y=10;y<100;y++)
    {
    p=x*y;
    for (z=1000;z<10000;z++)
    if(z-x)
    {
    for (w=1;wp1)
    {
    x1=x;
    y1=y;
    z1=z;
    w1=w;
    p1=p;
    }
    if(p<p2)
    {
    x2=x;
    y2=y;
    z2=z;
    w2=w;
    p2=p;
    }
    }
    }
    }
    }
    printf(“x1=%5ld\n”,x1);
    printf(“y1=%5ld\n”,y1);
    printf(“z1=%5ld\n”,z1);
    printf(“w1=%5ld\n”,w1);
    printf(“p1=%5ld\n\n”,p1);
    printf(“x2=%5ld\n”,x2);
    printf(“y2=%5ld\n”,y2);
    printf(“z2=%5ld\n”,z2);
    printf(“w2=%5ld\n”,w2);
    printf(“p2=%5ld\n\n\n”,p2);
    return 0;
    }

  2. Por motivos de copyright não transcrevi o enunciado do enigma, mas pensei que estava claro que cada dígito 0,1, … , 9 só apareceria uma vez no conjunto dos quatro números. Pelos vistos não era assim tão claro.

    Publicarei aqui as duas soluções no fim do mês.

  3. Caro Américo Tavares
    Eis os resultados que encontrei com a ajuda do pari-gp (great processor)
    Expressões da forma:
    x*y=z*w, sendo x e z dois números decimais de quatro dígitos e y e w dois números decimais de três dígitos.
    Condição: nenhum dígito se pode repetir em qualquer posição dos quatro números: x,y,z e w.
    A condição força a considerar todas as permutações dos dez dígitos, que se espalham entre os factores.
    Número total de parmutações: 10!=3628800.
    Resultados do programa para determinação do produto mais elevado:
    [10, 2, 6, 7, 5, 8, 4, 3, 9, 1]
    915*64=732*80=58560
    Os dígitos dos factores são extraidos da permutação reduzindo uma unidade.
    O programa fonte:
    /* File produto.gp */
    /* Resolucao de um problema de Americo Tavares no blog problemas e teoremas */

    maxprod=0;
    for (i = 0, 10!-1,perm=numtoperm(10,i);\
    x=(perm[1]-1)*100+(perm[2]-1)*10+(perm[3]-1);\
    y=(perm[4]-1)*10+(perm[5]-1);\
    w=(perm[6]-1)*100+(perm[7]-1)*10+(perm[8]-1);\
    z=(perm[9]-1)*10+(perm[10]-1);\
    p=x*y;\
    q=w*z;\
    if(p==q && p>maxprod,maxprod=p;\
    permmax=perm;\
    xmax=x;\
    ymax=y;\
    wmax=w;\
    zmax=z;\
    );\
    );\
    print(permmax);print(xmax,”*”,ymax,”=”,wmax,”*”,zmax,”=”,maxprod);\
    quit;

    Resultados do programa para determinação do produto mais baixo:
    [9, 10, 8, 1, 5, 2, 6, 7, 3, 4]
    897*04=156*23=3588
    Fonte gp para a determinação do menor produto:
    /* File produto.gp */
    /* Resolucao de um problema de Americo Tavares no blog problemas e teoremas */

    minprod=9999*99;
    for (i = 0, 10!-1,perm=numtoperm(10,i);\
    x=(perm[1]-1)*100+(perm[2]-1)*10+(perm[3]-1);\
    y=(perm[4]-1)*10+(perm[5]-1);\
    w=(perm[6]-1)*100+(perm[7]-1)*10+(perm[8]-1);\
    z=(perm[9]-1)*10+(perm[10]-1);\
    p=x*y;\
    q=w*z;\
    if(p==q && p<minprod,minprod=p;\
    permmin=perm;\
    xmin=x;\
    ymin=y;\
    wmin=w;\
    zmin=z;\
    );\
    );\
    print(permmin);print(xmin,”*”,ymin,”=”,wmin,”*”,zmin,”=”,minprod);\
    quit;

  4. Resultados pa x e w com 5 dígitos e y e z com 1 dígito
    Máximo produto:
    [10, 4, 6, 3, 7, 8, 1, 2, 5, 9]
    9352*6=7014*8=56112

    Mínimo produto:
    [1, 7, 8, 10, 5, 2, 4, 6, 9, 3]
    0679*4=1358*2=2716

  5. Caro António

    O seu resultado do produto mais elevado 915\times 64=732\times 80=58560 corresponde ao indicado pelo autor do livro.
    Quanto ao menor, porque o autor parte do princípio de que o dígito da esquerda de cada um dos números não pode ser 0, coisa que não referi, chega a outro.
    Isto é uma prova concreta de que, por vezes, não é fácil redigir enunciados curtos e 100% rigorosos.
    Estou certo que poderia alterar o seu programa para incluir mais esta restrição, mas nem sequer acho de bom gosto pedir-lhe que o faça.
    Mostrou dominar a programação e conseguir utilizar o pari-gp numa situação não trivial.

    Só é pena que nos comentários se perca a indentação dos espaços, o que torna mais difícil a leitura do seu programa.
    Penso conseguir neste post ou noutro separado melhorar este aspecto.

    Muito obrigado pela sua resposta.

  6. Américo
    Para comtemplar a condição de o dígito mais significativo de cada factor não ser nulo, basta uma pequena alteração nos programas fonte. Na minha máquina, o programa é executado com bastante rapidez (da ordem dos 2-3 minutos).
    Esqueci-me da tag do WordPress que dá entrada a um comando latex. Ainda percorri os posts antigos à procura, mas não encontrei. O comando latex indicado seria o verbatim.
    Fico a aguardar, com os demais leitores, o próximo desafio, com a certeza de que será tão interessante como este.

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