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Na entrada anterior abordei o caso dos sistemas completos, em que converge em média para . A convergência em média não implica convergência em todos os pontos.
Se considerarmos duas funções, e , que diferem apenas num número finito de pontos e calcularmos os coeficientes
obtemos o mesmo valor, visto que
tem o mesmo valor para as duas funçoes, o que leva a que ambas sejam representadas pela mesma série de Fourier, ou seja, a série de Fourier pode não convergir para o valor da função num conjunto finito de pontos.
Para os sistemas completos é possível deduzir a seguinte relação:
Dadas duas funções e representadas pelas séries
pode demonstrar-se
-
-
, fazendo em 1.
.
À relação 1. costuma chamar-se relação de Parseval na forma geral; à seguinte, chamar-se-á relação de Parseval na forma particular. Se soubermos de antemão que um determinado sistema de funções é completo, podemos determinar a soma de certas séries de interesse prático, à custa da relação de Parseval.
Exemplo 2: O sistema de funções
é ortogonal no intervalo
. Determine os coeficientes de Fourier da série
e verifique que aquele sistema é completo em relação a esta função.
Começo por calcular as quantidades:
, para
ímpar e
, para
par
Deste modo
, se é par e
, se é ímpar.
Podemos agora verificar se a igualdade
é satisfeita: temos
o que significa que o sistema
é completo em relação à função
,
.
NOTA: Utilizei a soma da série
. Um dos métodos é descrito no livro de Taylor (ver
consultas), p. 717:
Desenvolve-se em série trigonométrica de Fourier, que será vista posteriormente, a função
,
, chegando-se a
,
.
Somando-as, obtém-se
.
Actualização de 18-11-2008: ligeiras correcções nas fórmulas e no texto e inclusão da versão em pdf.
Sobre Américo Tavares
eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer