Aplicação do teorema das raízes racionais de polinómios

Um leitor colocou num comentário recente o seguinte

Problema:

« O produto de 3 números positivos e consecutivos é igual a 8 vezes a sua soma. A soma dos quadrados desses 3 números será igual a quanto? »

Comentário:

Na resolução que publiquei neste comentário e que reproduzo mais abaixo, apliquei o teorema das raízes racionais que diz que se um polinómio de grau n

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}\dots+a_1x+a_0

tiver a raiz racional p/q  (escrita na forma irredutível), então p é um divisor de a_0 e q é um divisor de a_n. Como caso particular, se a_n=1, então as únicas raízes racionais de P(x), a existirem, deverão ser inteiros divisores de a_0.

Resolução:

x(x+1)(x+2)=8(x+(x+1)+(x+2))

é equivalente a

x^3+3x^2-22x-24=0.

Pelo teorema das raízes racionais as únicas raízes inteiras positivas possíveis serão os divisores positivos de -(-24)=24. Destes apenas x=4 é raiz. Logo a soma pedida é 4^2+5^2+6^2=77.

* * *

P.S. 31-08-2015: na resolução anterior a incógnita x representa o número mais pequeno. Desenvolvo agora, reescrevendo-a, a resolução mais simples que me foi sugerida (ver este comentário).

Resolução alternativa: se x representar agora o número intermédio, a nova equação passará a ser

(x-1)x(x+1)=8((x-1)+x+(x+1))

que simplificada fica

x^{3}-x=24x

pois nenhum dos membros tem termo independente, em resultado da sua simetria em relação a x. Logo

x(x^{2}-25)=0

Como x>0, a solução desta equação que satisfaz o enunciado é x=5. O resultado é como acima

(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=4^2+5^2+6^2=77

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Aplicação do teorema das raízes racionais de polinómios

  1. Recebi um comentário de um matemático, no Facebook, a indicar-me uma resolução mais simples: basta escolher como incógnita o número do meio, em vez do menor. A equação resultante passa a ser redutível a uma do 2.º grau.

  2. UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU PARA RESOLVER.

    Primeira providência: Eliminar o termo quadrático e fazer x = (y-b)/3a
    x = y – 3/3 # x = y – 1. Importante para se achar x.
    Agora onde tiver x , fazer y – 1
    (y-1)^3 + 3( y – 1)^2 -22( y – 1) -24 = 0
    y^3 – 3y^2 + 3y – 1^3 + 3( y^2 – 2y +1^2) – 22 y + 22 -24 = 0
    y^3 – 3y^2 + 3y – 1 + 3y^2 -6y +3 -22y +22 -24 = 0
    Eliminamos o termo quadrático.
    Fica assim: y^3 +3y -1 -6y +3 -22y + 22 – 24 = 0
    y^3
    +3y -6y -22y = -25y
    -1 +3 +22 – 24 = 0.
    Equação reduzida: y^3 -25y = 0
    Está no fim: y^3 = 25 # y=raiz quadrada de 25 # y= 5 # x = 5-1 = 4
    x = 4. Esse é o número procurado.
    Vamos comparar com o nosso raciocínio anterior:
    [ 4 ( 4+1) (4+2) ] + [8 ( 4) +(4+1) + (4+2) ]
    4* 5*6 = [ 8 ( 4 + 5 + 6 ) ]
    120 = 8 ( 15 )
    120 = 120
    A soma dos quadrados : 4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36 = 77.

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