Desafio: área entre círculos :: Challenge: area between circles

Tem cinco moedas iguais, cada uma a tocar nas duas adjacentes. No espaço que fica no meio coloca uma moeda tangente às cinco.

Qual é a área total entre as moedas em função do diâmetro d das maiores?

Five equal coins are placed in such a way that each of them is tangent to the  two adjacents ones. Another coin  tangent to those five is put in the centre.

Find the total area between the coins as a function of the diameter d of each one of the outer five.

 

Figura auxiliar / Auxiliar figure

 Neste caso o $0.05 não é bem tangente aos €0.50. 

In this case the $0.05 coin is not quite tangent to the  five €0.50 coins. 

Imagine que as moedas eram círculos ideais, tangentes 3 a 3, excepto o central a 5.

Suppose all the coins are ideal circles arranged so that each  is tangent to  3 , except the central one which is tangent to the other 5.

 

P.S. English text edited.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Desafio: área entre círculos :: Challenge: area between circles

  1. Resolução de RSCS de 27.03.10, em

    publicada em comentário a

    http://simplesmenteporquesim.wordpress.com/2010/03/26/quando-mais-nada-ocorre/ .

    Substituindo os resultados parciais na área final indicada na resolução, obtive, em função de d^2, para a área pedida:

    A=\dfrac{1}{4}\left( \sqrt{25+10\sqrt{5}}-\left( \dfrac{8}{5-\sqrt{5}}-\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}+\dfrac{5}{2}\right) \pi \right) d^{2}

    ou seja

    \dfrac{A}{d^{2}}=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}-\left( \dfrac{2}{5-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}+\dfrac{5}{8}\right) \pi

    [31.03.10: Corrigi autor da solução]

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