Uma soma telescópica “disfarçada”; Problema da Universidade de Purdue

Para melhor divulgação do meu post anterior, explico como me veio à ideia a resolução que submeti e que foi aceite.

Pedia-se para provar que a soma de 119 números, quase ou mesmo todos irracionais era um inteiro. O termo geral estava como que disfarçado. Por intuição fiz a conta algébrica elementar, transformando-o na forma . Depois recordei-me que tinha dado, há muitos anos, durante o liceu, um método que permitia calcular este tipo de expressões: num dos livros de Álgebra do 3.º ciclo do liceu, de que Sebastião e Silva é autor, está a dedução de uma identidade algébrica ligeiramente mais geral, que uma vez aplicada a este caso, chega à diferença de duas raízes quadradas, funções de . Reparei que o valor da segunda tomava o da primeira, substituindo na primeira por , daí resultando que tinha que calcular uma soma telescópica do tipo  , o que, aqui chegado, é extremamente simples: é simplesmente a diferença . Como, quer o aditivo quer o subtractivo eram inteiros, a sua diferença era naturalmente inteira.

Aproveitei conhecimentos anteriores para chegar a uma solução, como é natural e recomendável. Não sei se haverá outros métodos radicalmente diferentes.