Determinação dos coeficientes de um polinómio como exercício sobre somatórios

Exercício:  determine os coeficientes da seguinte funcão polinomial, ordenando-a segundo as potências decrescentes de x

f(x)=(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)+\cdots+(x+99)(x+100)

Resolução: escrevemos f(x) na forma de somatório, determinando, para esse efeito, o seu termo geral; desenvolvemos de seguida esse termo geral e aplicamos as propriedades dos somatórios. Finalmente, utilizamos as fórmulas da soma dos n primeiros números inteiros positivos e da soma das n primeiras potências quadradas:

\begin{aligned}f(x)&=\underset{k=1}{\underbrace{\underset{\left( x+2\cdot 1-1\right) }{\underbrace{\left( x+1\right) }}\underset{\left( x+2\cdot 1\right) }{ \underbrace{\left( x+2\right) }}}}+\underset{k=2}{\underbrace{\underset{ \left( x+2\cdot 2-1\right) }{\underbrace{\left( x+3\right) }}\underset{ \left( x+2\cdot 2\right) }{\underbrace{\left( x+4\right) }}}}+\dots +\underset{k=50} {\underbrace{\underset{\left( x+2\cdot 50-1\right) }{\underbrace{\left( x+99\right) }}\underset{\left( x+2\cdot 50\right) }{\underbrace{\left( x+100\right) }}}} \\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\left( x+2k-1\right) \left( x+2k\right)\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{50}x^{2}+\left( 4k-1\right) x+4k^{2}-2k \\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{50}x^{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\left( 4k-1\right) x+\displaystyle\sum_{k=1}^{50}4k^{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^{50}2k \\&=50x^{2}+\left( 4\displaystyle\sum_{k=1}^{50}k-\displaystyle\sum_{k=1}^{50}1\right)x+4\displaystyle\sum_{k=1}^{50}k^{2}-2\displaystyle\sum_{k=1}^{50}k\end{aligned}

Visto que

\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n,\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n\left( n+1\right) }{2},\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}\end{aligned}

vem, portanto,

\begin{aligned}f(x) &=50x^{2}+\left( 4\left( 1275\right) -50\right) x+4\left( 42\,925\right) -2\left( 1275\right) \\&=50x^{2}+5050x+169\,150. \end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Determinação dos coeficientes de um polinómio como exercício sobre somatórios

  1. ateixeira diz:

    Isto faz lembrar os tempos da faculdade.

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