Caixa com volume máximo

Na questão recente How do I find the maximum volume for a box when the corners are cut out?, no MSE, Mone Skratt Henry publicou o seguinte problema que traduzo:

Problema:

Constrói-se uma caixa (sem parte de cima) a partir de uma cartolina rectangular de lados A e B, retirando de cada canto um quadrado de lado h e dobrando os lados como se mostra na figura abaixo:

Admitindo que a altura da caixa é h=3 polegadas e que se usa uma cartolina de 134 polegadas quadradas (isto é, AB=134), que valores de A e B maximizam o volume?

(…)

Tradução da minha resposta:

(…)

Quando se retiram os quatro cantos da cartolina, obtemos exactamente a caixa desdobrada.  A base da caixa é o rectângulo definido pelos quatro vértices interiores.  O resto da cartolina forma os lados a dobrar da frente, trás, esquerdo e direito. Ao dobrá-los a caixa é o paralelepípedo aberto esboçado na parte direita da figura.

Dado que o comprimento dos quatro quadrados é h=3 polegadas, a base da caixa é um rectângulo cujos comprimento é A-2h=A-6 polegadas e largura B-2h=B-6 polegadas. Por isso, a base tem a área A_{\text{base}}=(A-6)(B-6) polegadas quadradas.

Visto que AB = 134 polegadas quadradas, concluímos que B=134/A polegadas e

A_{\text{base}}=\left(A-6\right)\left(\dfrac{134}{A}-6\right)=170-6A-\dfrac{804}{A}\text{ polegadas quadradas}

A altura da caixa é h (ver esboço); assim, o seu volume é V(A)=A_{\text{base}}\times 3\text{ polegadas c\'ubicas}. Então

V(A)=3\left(170-6A-\dfrac{804}{A}\right)\text{ polegadas c\'ubicas}.

Que valores de A e B maximizam o volume?

Necessitamos apenas de determinar V'(A)=\dfrac{dV}{dA} e resolver em ordem a A a equação V'(A)=0.

* * *

Nota: o resultado é A_{\max}=B_{\max}=\sqrt{134} polegadas, ou seja a cartolina deve ser quadrada.

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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