Métodos analítico e sintético de demonstração de identidades trigonométricas

Na questão Why is it that when proving trig identities, one must work both sides independently? do MSE, Ord pergunta porque não pode manipular a totalidade de uma identidade para a demonstrar.

Na minha resposta disse-lhe que na verdade pode. Eis o que escrevi:

Pode. O método analítico  de demonstração de uma identidade consiste em começar com a identidade que se pretende provar, no caso presente,

\dfrac{\sin\theta-\sin ^{3}\theta}{\cos^{2}\theta}=\sin\theta,\qquad\cos\theta\neq 0\qquad (1)

e estabelecer uma sequência de identidades tais que cada uma delas é uma consequência da seguinte. Para que a identidade (1) seja verdadeira basta que a identidade seguinte o seja também

\sin\theta-\sin ^{3}\theta=\sin\theta\cos^{2}\theta\qquad (2)

ou esta que lhe é equivalente

\sin\theta\left( 1-\sin ^{2}\theta \right) =\sin \theta \cos ^{2}\theta  \qquad (3)

ou finalmente esta última

\sin\theta\cos^{2}\theta =\sin \theta\cos^{2}\theta\qquad (4)

Como (4) é verdadeira (1) também o é.

O livro referenciado abaixo  ilustra este método com a identidade

\dfrac{1+\sin a}{\cos a}=\dfrac{\cos a}{1-\sin a}\qquad a\neq (2k+1)\dfrac{\pi  }{2}

Referência: J. Calado, Compêndio de Trigonometria, 3.º ciclo do Ensino Liceal, Empresa Literária Fluminense, Lisbon, pp. 90-91, 1967.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Métodos analítico e sintético de demonstração de identidades trigonométricas

  1. ???????????????????????????????

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