Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de , composta anualmente, de maneira a poder levantar-se dólares no final do ano , perpetuamente? (Para , a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

“ What is the smallest amount that may be invested at interest rate , compounded annually, in order that we may withdraw dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For , the answer is 2310 dollars.) “

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série .

Proposição: se , a série converge para .

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para :

e diferenciemos ambos os membros . Agora multipliquemo-los por : . Diferenciando novamente, obtemos . Multipliquemos ambos os membros por e completaremos a demonstração da Proposição:

Pondo obtemos na forma alternativa, válida para ,

Designemos por o valor actual total da série de levantamentos dólares, no fim do ano . O levantamento no final do ano contribui para no valor de , em que é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde a dá (no princípio do ano 1),  que é o montante mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar () os levantamentos como enunciado no problema: .

Usando com obtemos o valor actual , em dólares, em função da taxa de juro em percentagem:

Para , confirmamos que .

Cópia do Texto original

[Correcção gramatical: “alternative form” em vez de “alternatively form”]

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cálculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.