Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.
« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de
, composta anualmente, de maneira a poder levantar-se
dólares no final do ano
, perpetuamente? (Para
, a resposta é 2310 dólares.) »
Transcrição do original
“ What is the smallest amount that may be invested at interest rate
Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série 
Proposição: se 
Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para 
e diferenciemos ambos os membros 
Pondo 
Designemos por 
Usando 
Para 
Cópia do Texto original
[Correcção gramatical: "alternative form" em vez de "alternatively form"]
* * *
Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cálculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.
dos logaritmos naturais 
aparece no cálculo financeiro no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta.
vezes por ano). A taxa nominal anual 
é então
,
.
ao fim dos vários períodos trimestrais serão:
.
, passaremos a ter ao fim desses 
.
,
do contrato, ou seja a relação entre os juros durante um ano e o capital 
ao ano composta
.
.
.
.
(para simplificar a notação que se segue) será 
e efectiva 
é dada por
.
.
. A relação entre a taxa efectiva (
) é dada pela conhecida igualdade
,
.
,
.
períodos. O segundo, durante 
e, em geral, o do período 
, durante 
períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período 
.
, para 
, 
e primeiro termo 
, que é igual a
,
(ver a seguir 
) e 
, obtém-se
.
.
, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 
unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de 
?
e o valor futuro 
, para 
:
unidades monetárias.
unidades monetárias.
, tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, 
e 
unidades monetárias, claro que muito menos.
, pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em
.
em função da taxa de juro 
e 
euros e anuidade constante durante um prazo de 
anos, à taxa de juro anual 
%.
contratada.
;
.
unidades monetárias, em que 
e primeiro termo 
e 
. Assim
meses (
anos)
“![\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7B0%2C05%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%7D-1%3D%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7B0%2C05%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%2F0%2C05%7D%5Cright%5D+%5E%7B0%2C05%7D-1&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1")
aproxima para 
), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal 
![=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7Br%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%2Fr%7D%5Cright%5D+%5E%7Br%7D-1%3De%5E%7Br%7D-1.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.")
months (
years)
“![\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m/0.05}\right] ^{0.05}-1](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7B0.05%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%7D-1%3D%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7B0.05%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%2F0.05%7D%5Cright%5D+%5E%7B0.05%7D-1&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m/0.05}\right] ^{0.05}-1")
% 
is an approximation for 
(****)), and in the general case of an annual nominal interest rate 
unidades monetárias, em que 
a 
.
e primeiro termo 
:
semestres, sendo a taxa 
e 
, pelo que
unidades monetárias.
semestres é
unidades monetárias
unidades monetárias.
unidades monetárias.
Por exemplo 
e 
e geramos uma sucessão de valores 
(
) até nos aproximarmos da solução da equação.
e por 
tem o coeficiente angular
.
