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Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

Julho 27, 2009 in Blogue, Cálculo financeiro, Estatísticas, Matemática, Problema | Tags: Blogue, Matemática, Problema | Leave a comment

Traduzo e adapto esta minha entrada em inglês onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.

O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.

” Suponha para simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de 5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de £50000 e pagar £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que demoro a liquidá-lo? “

Texto original:

” Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage? “

Eis os meus dois comentários:

1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal $P$ , temos de determinar o valor dos pagamentos constantes $A$ durante $n$ períodos mensais. O valor de $A$ no período $k$ é equivalente ao valor actual $A/\left( 1+i\right) ^{k}$ unidades monetárias, em que $i$ é a taxa de juro em cada período de capitalização. Somando em $k$ , desde 1 a $n$ , obtemos a soma

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}$

Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão $r=1/(1+i)$ e primeiro termo $u_{1}=A/\left( 1+i\right)$

$\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P$

$A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}$

No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante $n$ meses, com $i=5/12\%=\dfrac{5}{1200}$ e $P=50\,000$ . Assim

$A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500$

$\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1$

Resolvendo em ordem a $n$ , obtemos

$n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129,63$ meses ( $10,802$ anos)

e, como provou

$20\ln 2\approx 13,863>10,802.$ “

2. “Permita-me que acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de 5%, composta $m$ vezes ao ano como segue:

$\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1$ $=e^{0,05}-1\approx 5,127\%$

(que a sua fórmula $e^{\alpha }=1,05$ aproxima para $\alpha =0,05$ ), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal $r$ , como

$i_{E\;(m\rightarrow \infty )}=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m}-1$ $=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.$

Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”

* * *

Nota: antigidas ontem as 200 000 vizualizações.

200 000 hits em 26.07.09

A mortgage problem (Problema sobre o prazo de amortização de uma hipoteca)

Julho 12, 2009 in Cálculo financeiro, Matemática, Math, Problem, Problema | Tags: Matemática, Math, Problem, Problema | Leave a comment

In a recent post Professor Gowers writes on the new proposal for the A-level exam on the “Use of Mathematics”. In it he discusses the following discrete problem which he approaches in a way that uses continuous techniques.

” Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage? “

Here are two comments of mine concerning this problem.

1. “For your discrete problem about repayment mortgages I present a proposal for a direct solution. This solution, even if correct, is of course far less instructive than (*) your reasoning!

In general we have to find the value of constant payments $A$ given the principal $P$ during $n$ monthly periods. The value of $A$ in the period $k$ is equivalent to the present value $A/\left( 1+i\right) ^{k}$ monetary units, where $i$ is the interest rate in each capitalization period. Summing in $k$ , from 1 to $n$ , we get the sum

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}$

Now we have to sum a geometric progression with ratio (**) $r=1/(1+i)$ and first term $u_{1}=A/\left( 1+i\right)$

$\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P$

$A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}$

For the given problem, the payments will be made during $n$ months, with $i=5/12\%=\dfrac{5}{1200}$ and $P=50\,000$ . Thus

$A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500$

$\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1$

Solving for $n$ , we get

$n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129.63$ months ( $10.802$ years)

and, as you proved

$20\ln 2\approx 13.863>10.802.$ “

2. “Please let me only add one further interpretation of mine: the continuous effective interest rate can be derived from the 5% nominal interest rate, compounded (***) $m$ times per year as follows:

$\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m/0.05}\right] ^{0.05}-1$ $=e^{0.05}-1\approx 5.127$ %

(of which ~~approximates~~ your formula $e^{\alpha }=1.05$ is an approximation for $\alpha =0.05$ (****)), and in the general case of an annual nominal interest rate $r$ as

From a point of view of a purely mathematical problem the model you are discussing ~~in the context of the “use-of-maths A’ level “~~ is much more interesting and worthy.”

Corrections to the original comments:

(*) “that” in original

(**) “rate” in original

(***) “compound” in original

(****) [Edited on July 28, 2009,. In original: "which approximates your formula $e^{\alpha }=1.05$ for $\alpha =0.05$ "]

[Edited on July 14, 2009: First paragraph corrected and title changed]

[Edited on July 15, 2009: Last paragraph. Remark: in a comment Professor Gowers wrote "I wasn’t suggesting that the mortgage question would be a suitable one for a use-of-maths A’level" ]

Versão portuguesa

Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

Janeiro 30, 2009 in Caderno, Cálculo financeiro, Exercício, Matemática | Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Exercícios, Matemática | Leave a comment

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Foram emprestadas 100 000 unidades monetárias à taxa de juro (nominal anual) de 7% capitalizada semestralmente. O reembolso será feito semestralmente, em capital e juros, durante 30 anos.

Qual a parte da dívida que falta pagar ao fim de 10 anos?

No caso geral, teremos de calcular o valor dos pagamentos constantes $A$ dado o valor do capital principal $P$ .

Durante $n$ períodos, neste caso semestrais, são pagos $A$ unidades monetárias em cada. O valor $A$ do período $k$ equivale ao valor presente de $\dfrac{A}{(1+i)^k}$ unidades monetárias, em que $i$ é a taxa de juro em cada período de capitalização. Se somarmos em $k$ , de $1$ a $n$ , obtemos o somatório

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k}$ .

Como noutros casos anteriores de cálculo financeiro já expostos, deparamo-nos com a soma de uma progressão geométrica, neste caso de razão $c=\dfrac{1}{1+i}$ e primeiro termo $u_1=\dfrac{A}{1+i}$ :

$u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}=\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^n-1}{ \dfrac{1}{1+i} -1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$

Esta soma há-se naturalmente ser igual a $P$ :

$P=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$

donde

$A=P\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$

Regressando ao exemplo, o reembolso é feito em $n=60$ semestres, sendo a taxa $i=7/2\%$ e $P=100\;000$ , pelo que

$A=100\;000\dfrac{0,035(1,035)^{60}}{(1,035)^{60}-1}=4009$ unidades monetárias.

O valor do empréstimo ao fim de $20$ semestres é

$100\;000\times(1+0,035)^{20}=198\;979$ unidades monetárias

As rendas pagas ao fim de $20$ semestres correspondem ao valor futuro $F$ da série de pagamentos semestrais $A$ , no fim do período $20$ . Como vimos na formação de capital

$A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$

$F=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$

ou seja, neste caso

$F=4009\times\dfrac{1,035^{20}-1}{0,035}=113\;373$ unidades monetárias.

A dívida que falta pagar ao fim de 10 anos é então

$198\;979-113\;373=85\;605$ unidades monetárias.

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Novembro 9, 2008 in Caderno, Cálculo financeiro, Exercício, Matemática, Métodos Numéricos, Teorema / Teoria | Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Exercícios, Matemática | Leave a comment

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Suponha que tem a seguinte relação

$y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}$

e que pretende calcular $x$ para um dado valor de $y.$ Por exemplo $y=15.$
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

$\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.$

No caso geral tem-se uma equação não linear

$f(x)=0$

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais $x_{1}$ e $x_{2}$ e geramos uma sucessão de valores $x_{i}$ ( $i=2,3,\ldots$ ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por $\left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)$ e por $\left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right)$ tem o coeficiente angular

$m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

e a sua equação é

$y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}$ .

Cruza o eixo dos $x$ no ponto de abcissa $x_{3}$

$x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }$ leia o resto »

Série uniforme de pagamentos: Formação de capital – cálculo financeiro

Agosto 19, 2008 in Caderno, Cálculo financeiro, Exercício, Matemática | Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Exercícios, Matemática | Leave a comment

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Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de $n$ pagamentos constantes $A$ à taxa de juro $i$ e que pretende saber qual a relação entre o capital $F$ , no fim dos $n$ períodos, e o valor de $A$ .

O primeiro pagamento rende juros durante $n-1$ períodos. O segundo, durante $n-2$ e, em geral, o do período $k$ , durante $n-k$ períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período $k$ é

$F_k=A(1+i)^{n-k}$ .

Se somarmos todos os valores futuros $F_k$ , para $k=1,2,\dots,n$ , atendendo à fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão geométrica de razão $c$ e primeiro termo $u_1$ , que é igual a

$u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}$ ,

em que, neste caso, $u_1=A$ (ver a seguir $\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}$ ) e $c=1+i$ , obtém-se

$F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ .

Se exprimirmos $A$ em função de $F$ , virá

$A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$ .

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos $A$ são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro $i$ permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de $5\%$ , de modo que o seu saldo venha a ser igual a $10\; 000$ unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de $10\%$ ?

Neste caso devemos determinar $A$ , conhecida a taxa de juro $i=5\%$ e o valor futuro $F=10\; 000$ , para $n=10$ :

$A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05$ unidades monetárias.

Para $n=20$

$A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43$ unidades monetárias.

Se $i=10\%$ , tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, $627,45$ e $174,60$ unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de $n$ anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for $r$ , a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a $e^r-1$ , pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

$A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}$ .

P. S. corrigido erro num somatório. Usado $c$ para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa $r$ do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação $F/A$ em função da taxa de juro $i$ para $n=10$ períodos

E como determinar $i$ conhecidos $A,F$ e $n$ ? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

	Eduardo Lazarini no Matemática, papel e caneta, e …
	mario dumbo hossi no Descobrir a Moeda Falsa
	Américo Tavares no Notas soltas sobre a Conferênc…
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