Category Archive

You are currently browsing the category archive for the 'Cálculo financeiro' category.

Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

Julho 27, 2009 in Blogue, Cálculo financeiro, Estatísticas, Matemática, Problema | Tags: Blogue, Matemática, Problema | Leave a comment

Traduzo e adapto esta minha entrada em inglês onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.

O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.

” Suponha para simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de 5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de £50000 e pagar £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que demoro a liquidá-lo? “

Texto original:

” Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage? “

Eis os meus dois comentários:

1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal $P$ , temos de determinar o valor dos pagamentos constantes $A$ durante $n$ períodos mensais. O valor de $A$ no período $k$ é equivalente ao valor actual $A/\left( 1+i\right) ^{k}$ unidades monetárias, em que $i$ é a taxa de juro em cada período de capitalização. Somando em $k$ , desde 1 a $n$ , obtemos a soma

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}$

Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão $r=1/(1+i)$ e primeiro termo $u_{1}=A/\left( 1+i\right)$

$\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P$

$A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}$

No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante $n$ meses, com $i=5/12\%=\dfrac{5}{1200}$ e $P=50\,000$ . Assim

$A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500$

$\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1$

Resolvendo em ordem a $n$ , obtemos

$n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129,63$ meses ( $10,802$ anos)

e, como provou

$20\ln 2\approx 13,863>10,802.$ “

2. “Permita-me que acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de 5%, composta $m$ vezes ao ano como segue:

$\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1$ $=e^{0,05}-1\approx 5,127\%$

(que a sua fórmula $e^{\alpha }=1,05$ aproxima para $\alpha =0,05$ ), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal $r$ , como

$i_{E\;(m\rightarrow \infty )}=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m}-1$ $=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.$

Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”

* * *

Nota: antigidas ontem as 200 000 vizualizações.

200 000 hits em 26.07.09

A mortgage problem (Problema sobre o prazo de amortização de uma hipoteca)

Julho 12, 2009 in Cálculo financeiro, Matemática, Math, Problem, Problema | Tags: Matemática, Math, Problem, Problema | Leave a comment

In a recent post Professor Gowers writes on the new proposal for the A-level exam on the “Use of Mathematics”. In it he discusses the following discrete problem which he approaches in a way that uses continuous techniques.

” Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage? “

Here are two comments of mine concerning this problem.

1. “For your discrete problem about repayment mortgages I present a proposal for a direct solution. This solution, even if correct, is of course far less instructive than (*) your reasoning!

In general we have to find the value of constant payments $A$ given the principal $P$ during $n$ monthly periods. The value of $A$ in the period $k$ is equivalent to the present value $A/\left( 1+i\right) ^{k}$ monetary units, where $i$ is the interest rate in each capitalization period. Summing in $k$ , from 1 to $n$ , we get the sum

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}$

Now we have to sum a geometric progression with ratio (**) $r=1/(1+i)$ and first term $u_{1}=A/\left( 1+i\right)$

$\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P$

$A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}$

For the given problem, the payments will be made during $n$ months, with $i=5/12\%=\dfrac{5}{1200}$ and $P=50\,000$ . Thus

$A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500$

$\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1$

Solving for $n$ , we get

$n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129.63$ months ( $10.802$ years)

and, as you proved

$20\ln 2\approx 13.863>10.802.$ “

2. “Please let me only add one further interpretation of mine: the continuous effective interest rate can be derived from the 5% nominal interest rate, compounded (***) $m$ times per year as follows:

$\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0.05}{m}\right) ^{m/0.05}\right] ^{0.05}-1$ $=e^{0.05}-1\approx 5.127$ %

(of which ~~approximates~~ your formula $e^{\alpha }=1.05$ is an approximation for $\alpha =0.05$ (****)), and in the general case of an annual nominal interest rate $r$ as

From a point of view of a purely mathematical problem the model you are discussing ~~in the context of the “use-of-maths A’ level “~~ is much more interesting and worthy.”

Corrections to the original comments:

(*) “that” in original

(**) “rate” in original

(***) “compound” in original

(****) [Edited on July 28, 2009,. In original: "which approximates your formula $e^{\alpha }=1.05$ for $\alpha =0.05$ "]

[Edited on July 14, 2009: First paragraph corrected and title changed]

[Edited on July 15, 2009: Last paragraph. Remark: in a comment Professor Gowers wrote "I wasn’t suggesting that the mortgage question would be a suitable one for a use-of-maths A’level" ]

Versão portuguesa

Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

Janeiro 30, 2009 in Caderno, Cálculo financeiro, Exercício, Matemática | Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Exercícios, Matemática | Leave a comment

pdf: ver caderno

Foram emprestadas 100 000 unidades monetárias à taxa de juro (nominal anual) de 7% capitalizada semestralmente. O reembolso será feito semestralmente, em capital e juros, durante 30 anos.

Qual a parte da dívida que falta pagar ao fim de 10 anos?

No caso geral, teremos de calcular o valor dos pagamentos constantes $A$ dado o valor do capital principal $P$ .

Durante $n$ períodos, neste caso semestrais, são pagos $A$ unidades monetárias em cada. O valor $A$ do período $k$ equivale ao valor presente de $\dfrac{A}{(1+i)^k}$ unidades monetárias, em que $i$ é a taxa de juro em cada período de capitalização. Se somarmos em $k$ , de $1$ a $n$ , obtemos o somatório

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k}$ .

Como noutros casos anteriores de cálculo financeiro já expostos, deparamo-nos com a soma de uma progressão geométrica, neste caso de razão $c=\dfrac{1}{1+i}$ e primeiro termo $u_1=\dfrac{A}{1+i}$ :

$u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}=\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^n-1}{ \dfrac{1}{1+i} -1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$

Esta soma há-se naturalmente ser igual a $P$ :

$P=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$

donde

$A=P\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$

Regressando ao exemplo, o reembolso é feito em $n=60$ semestres, sendo a taxa $i=7/2\%$ e $P=100\;000$ , pelo que

$A=100\;000\dfrac{0,035(1,035)^{60}}{(1,035)^{60}-1}=4009$ unidades monetárias.

O valor do empréstimo ao fim de $20$ semestres é

$100\;000\times(1+0,035)^{20}=198\;979$ unidades monetárias

As rendas pagas ao fim de $20$ semestres correspondem ao valor futuro $F$ da série de pagamentos semestrais $A$ , no fim do período $20$ . Como vimos na formação de capital

$A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$

$F=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$

ou seja, neste caso

$F=4009\times\dfrac{1,035^{20}-1}{0,035}=113\;373$ unidades monetárias.

A dívida que falta pagar ao fim de 10 anos é então

$198\;979-113\;373=85\;605$ unidades monetárias.

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Novembro 9, 2008 in Caderno, Cálculo financeiro, Exercício, Matemática, Métodos Numéricos, Teorema / Teoria | Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Exercícios, Matemática | Leave a comment

pdf: ver caderno

Suponha que tem a seguinte relação

$y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}$

e que pretende calcular $x$ para um dado valor de $y.$ Por exemplo $y=15.$
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

$\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.$

No caso geral tem-se uma equação não linear

$f(x)=0$

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais $x_{1}$ e $x_{2}$ e geramos uma sucessão de valores $x_{i}$ ( $i=2,3,\ldots$ ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por $\left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)$ e por $\left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right)$ tem o coeficiente angular

$m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

e a sua equação é

$y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}$ .

Cruza o eixo dos $x$ no ponto de abcissa $x_{3}$

$x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }$ leia o resto »

Série uniforme de pagamentos: Formação de capital – cálculo financeiro

Agosto 19, 2008 in Caderno, Cálculo financeiro, Exercício, Matemática | Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Exercícios, Matemática | Leave a comment

pdf: ver caderno

Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de $n$ pagamentos constantes $A$ à taxa de juro $i$ e que pretende saber qual a relação entre o capital $F$ , no fim dos $n$ períodos, e o valor de $A$ .

O primeiro pagamento rende juros durante $n-1$ períodos. O segundo, durante $n-2$ e, em geral, o do período $k$ , durante $n-k$ períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período $k$ é

$F_k=A(1+i)^{n-k}$ .

Se somarmos todos os valores futuros $F_k$ , para $k=1,2,\dots,n$ , atendendo à fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão geométrica de razão $c$ e primeiro termo $u_1$ , que é igual a

$u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}$ ,

em que, neste caso, $u_1=A$ (ver a seguir $\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}$ ) e $c=1+i$ , obtém-se

$F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ .

Se exprimirmos $A$ em função de $F$ , virá

$A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$ .

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos $A$ são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro $i$ permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de $5\%$ , de modo que o seu saldo venha a ser igual a $10\; 000$ unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de $10\%$ ?

Neste caso devemos determinar $A$ , conhecida a taxa de juro $i=5\%$ e o valor futuro $F=10\; 000$ , para $n=10$ :

$A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05$ unidades monetárias.

Para $n=20$

$A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43$ unidades monetárias.

Se $i=10\%$ , tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, $627,45$ e $174,60$ unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de $n$ anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for $r$ , a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a $e^r-1$ , pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

$A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}$ .

P. S. corrigido erro num somatório. Usado $c$ para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa $r$ do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação $F/A$ em função da taxa de juro $i$ para $n=10$ períodos

E como determinar $i$ conhecidos $A,F$ e $n$ ? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

	anonimo no Dodecaedro e outros poliedros…
	Elias_Brasil no Probabilidades com cartas
	Pedro Cunha no Caderno
	Andrea no Matemática, papel e caneta, e …
	alessandro no Caderno
	Jean Lauro Muller no Three gamma function iden…
	jenito Mario Cambann… no Método de eliminação de Gauss …
	Américo Tavares no Série de Fourier da Onda …
	cesar no Série de Fourier da Onda …
	jose miguel no Euler e os cinco sólidos …

Category Archive

Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

A mortgage problem (Problema sobre o prazo de amortização de uma hipoteca)

Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Série uniforme de pagamentos: Formação de capital – cálculo financeiro

Américo Tavares

Bem-vindo(a)!

Últimos Comentários e respostas

Arquivos

Últimos Artigos

Categorias (Temas)

Acompanhamento via RSS de Blogues com Matemática

… em português

A MATEMÁTICA ANDA POR AÍ

Disquisitiones Mathematicae

Geometria

morfismo

… não portugueses

Gaussianos

Gower’s Weblog

The Unapologetic Mathematician

Todd and Vishal’s blog

What’s new

Weblog de Pierre Bernard

Ligações (Links)

Matemática

Matemática/Computação

Matemática/Problemas

Matemática/Publicações, bibliotecas online

Meu blogue auxiliar

Outros: ciências, tecnologia e economia, etc.

N.º de Visualizações (início: Out. 2007)

Acompanhe este blogue via RSS

COMENTÁRIOS