Demonstração da identidade trigonométrica √2 sin 10° + √3 cos 35° = sin 55° + 2 cos 65°

Questão de Freddy, no MSE:

Prove que:

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}

Minha Resolução (tradução):

(…)

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}\qquad(1)

Eis uma variante [de resolução] que utiliza a fórmula da adição do cosseno para 65{{}^\circ}=35{{}^\circ}+30{{}^\circ}, a fórmula da subtracção do seno para 10{{}^\circ}=45{{}^\circ}-35{{}^\circ} e a fórmula das funções seno/cosseno  de ângulos complentares.

1.  Use a fórmula dos ângulos complementares \sin \theta =\cos \left( 90{{}^\circ}-\theta \right) com \theta=55{{}^\circ}, a fórmula da adição \cos \left( a+b\right) =\cos a\cos  b-\sin a\sin b, e os valores especiais \sin 30{{}^\circ}  =1/2, \cos 30{{}^\circ}=\sqrt{3}/2 para reescrever o lado direito de (1) na forma

\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(2)

2. Substitua (2) em (1) e simplifique; obtém a identidade equivalente

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(3)

3. Para mostrar que (3) é válida, use a fórmula da subtracção \sin \left(a-b\right) =\sin a\cos b-\cos a\sin b e os valores especiais \sin 45{{}^\circ}=\cos 45{{}^\circ}=\sqrt{2}/2. Dado que se obtém a identidade trivial seguinte, concluimos a demonstração.

\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(4)

Equação integral redutível a uma trigonométrica simples

Na questão Solving messy integral with modulus and trigonometry de eaxdpiotnyeantial , no MSE, é apresentada a seguinte equação integral na variável a

a\in \mathbb R,\displaystyle\int_{a-\pi}^{3\pi+a}|x-a-\pi|\sin(x/2)dx=-16

cuja resolução passo a traduzir.

Minha resolução: O cálculo do integral no 1.º membro da equação integral

\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert \sin \left( x/2\right)\,dx=-16\qquad (1)

pode efectuar-se, começando pela substituição sugerida por GFauxPas y=x-a-\pi num comentário, separando o integral em dois, um para -2\pi <y<0 e outro para 0\leq y<2\pi, e prosseguindo com a substituição z=\dfrac{y+a}{2} e integração por partes:

\begin{aligned}-16&=\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert\sin \left(x/2\right)\,dx\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\sin \left( \dfrac{y+a}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right) \,dy,\qquad\qquad y=x-a-\pi\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\cos\left( \dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=-\displaystyle\int_{-2\pi }^{0}y\cos\left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy+\displaystyle\int_{0}^{2\pi  }y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right)\,dy,\\&=-\left[ 2y\sin \dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{-2\pi }^{0} +\left[ 2y\sin\dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{0}^{2\pi }\qquad (\ast)\\&=-8\cos\dfrac{a}{2}+4\pi \sin\dfrac{a}{2}-8\cos\dfrac{a}{2}-4\pi \sin\dfrac{a}{2} \\&=-16\cos\dfrac{a}{2},\end{aligned}

porque

\begin{aligned}I(y)&=\displaystyle\int y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=\displaystyle\int 2\left(2z-a\right) \cos z\,dz,\qquad\qquad z=\dfrac{y+a}{2}\\&=4\displaystyle\int z\cos z\,dz-2a\displaystyle\int\cos z\,dz  \end{aligned}

e

\begin{aligned}I(y)&=4\left( z\sin z-\int\sin z\,dz\right) -2a\sin z\\  &=\left(4z-2a\right)\sin z+4\cos z\\&=2y\sin\frac{y+a}{2}+4\cos\dfrac{y+a}{2}.\qquad (\ast)\end{aligned}

Assim, (1) é equivalente à equação trigonométrica simples

\cos\dfrac{a}{2}=1,\qquad (2)

cuja solução é

a=4k\pi ,\text{ }k\in\mathbb{Z}.\qquad (3)

Determinação do seno da soma das raízes de uma equação linear no seno e no co-seno

A questão How do I determine the sign of sin θ in this question, no MSE, de  shaurya gupta, apresenta o seguinte problema interessante, que passo a traduzir:

\alpha e \beta são dois valores distintos de \theta, situados entre 0 e 2\pi, que satisfazem a equação 6\cos\theta + 8\sin\theta = 9. Determine \sin(\alpha+\beta).

Para este tipo de equações é fácil determinar as suas raízes, como já exemplifiquei numa entrada anterior (aqui). Na minha resposta não utilizei nenhum dos métodos.

Resolução: Não necessitamos de  determinar nem \alpha nem \beta, isto é resolver a equação linear em \cos\theta e \sin\theta dada, que podería ser transformada numa equação quadrática em \tan\frac{\theta}{2}.

Igualando as equações satisfeitas por \alpha and \beta

6\cos\alpha+8\sin\alpha=9

6\cos \beta +8\sin\beta =9,

e, de seguida, simplificando e reordenando os termos, obtemos

3\left( \cos \alpha -\cos \beta \right) =4\left( \sin \beta -\sin \alpha  \right).

Applicando as identidades trigonométricas de transformação de uma soma num produto

\begin{aligned}\cos\alpha -\cos\beta&=-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta }{2}\\\sin\beta-\sin\alpha&=-2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta }{2},\end{aligned}

supondo que^1  \sin\dfrac{\alpha-\beta }{2}\ne 0 tem-se

\begin{aligned}-3\times 2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}&=-4\times 2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\\3\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}&=4\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\\  \tan\dfrac{\alpha +\beta }{2}&=\dfrac{4}{3}.\end{aligned}

Finalmente exprimindo \sin\left(\alpha+\beta\right) em termos de \tan\dfrac{\alpha +\beta }{2}, usando as identidades da duplicação de ângulos, achamos

\sin\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha+\beta }{2}}=\dfrac{2\left( \dfrac{4}{3}\right) }{1+\left( \dfrac{4}{3}\right)^{2}}=\dfrac{24}{25},

o que está de acordo com o valor  de \cos \left( \alpha +\beta \right) que fora calculado por shaurya gupta:

\cos\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{1-\tan^{2}\dfrac{\alpha+\beta}{2}  }{1+\tan^{2}\dfrac{\alpha +\beta }{2}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}  }{1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}}=-\dfrac{7}{25}.

^1 A suposição de que \sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\neq 0 é válida, pois que, se fosse 0\neq\dfrac{\alpha-\beta }{2}=\pi, então, sem perda de generalidade, poderíamos assumir que 0=\beta <\alpha =2\pi, mas então obteríamos uma contradição:

\begin{aligned}6\cos\left( 2\pi \right) +8\sin\left( 2\pi \right)&\neq 9\\  6\cos\left(0\right)+8\sin\left(0\right)&\neq 9.\end{aligned}