Arquivo da Categoria: Teorema

Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy-Schwarz A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou Demonstração … Continuar a ler

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Republicação da demonstração combinatória (ou combinatorial) da convolução de Vandermonde e de outra soma binomial

(Inicialmente publicada nesta entrada.) Proposição: É válida a seguinte identidade combinatória que é a chamada convolução de Vandermonde. Pondo , obtém-se e para finalmente, . Demonstração: Existe uma demonstração meramente combinatória da convolução de Vandermonde: Dado o conjunto , considerem-se … Continuar a ler

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Fórmula de reflexão (da função gama) de Euler

pdf: ver caderno Gráfico de Γ(x) no intervalo ]-5,5] A função especial beta é definida para as variáveis reais pelo integral (1) que é impróprio mas convergente, no caso de e e   pelo menos uma das variáveis ou . A … Continuar a ler

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Identidade de Lagrange

pdf: ver caderno A desigualdade de Cauchy-Schwarz, já demonstrada anteriormente, é também uma consequência directa da identidade de Lagrange; neste sentido esta identidade constitui uma generalização dessa desigualdade, que relembro ser Proposição: Identidade de Lagrange. Para os reais  e (com ) … Continuar a ler

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Derivadas: a total de uma função composta de duas variáveis reais e de uma função elevada a outra função

pdf: ver caderno Proponho-me demostrar  a seguinte regra de derivação como aplicação do  teorema relativo à derivada total em relação a  de uma função de duas variáveis reais ambas função de . Teorema: Sejam uma aplicação de  em diferenciável em … Continuar a ler

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Desigualdade de Cauchy-Schwarz

pdf: ver caderno A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou    Demonstração  Qualquer que seja o real , tomo o vector , e vou achar . Seja qual for … Continuar a ler

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Séries de Fourier

pdf: ver caderno Para facilidade de consulta, decidi reunir aqui as entradas já publicadas sobre Séries de Fourier: Séries de Fourier 1 – Sistemas de Funções Ortogonais  Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval  Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica … Continuar a ler

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Teorema de Pitágoras

Esquema da demonstração de Euclides   1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto Notação: hipotenusa  cateto azul  cateto verde 2. Teorema: . A área do quadrado vermelho (sobre o … Continuar a ler

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Noções básicas sobre Séries

pdf: ver caderno No caderno pode ver uma pequena exposição sobre séries.  

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A Demonstração de Euler do Teorema da infinidade de números primos

Na entrada anterior referi uma demonstração atribuída a Euclides sobre a inexistênciade um número primo maior do que qualquer outro. Este enunciado é equivalente a: A sucessão dos números primos é ilimitada. Há uma infinidade de números primos, ou seja, … Continuar a ler

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