Arquivo da Categoria: Matemáticas Gerais

Série 1/(1⋅3) + 1/(3⋅5) + 1/(5⋅7) + … = 1/2

Desta questão de Jack Thompson, no MSE. Demonstrar que Tradução da minha resolução (utilizando a pista de David Mitra, em um comentário). Escrever a série na forma telescópica e calcular a sua soma: A soma da série telescópica é o limite … Continuar a ler

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Integral indefinido de 1/(x^2-2x)

Determinação de (Questão de Jordan no MSE) Adaptado da minha resposta. É quase imediata se se fizer a substituição e se se souber a derivada indicadas a seguir Usei a primitiva imediata que decorre da derivada Só será necessário substitutir … Continuar a ler

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Exemplo de desenvolvimento em fracções parciais

Nesta questão de Jordan, no MSE, é necessário calcular o seguinte integral, decompondo a função integranda em fracções parciais que acabam por ser Na minha resposta apresentei vários métodos possíveis. 1.  Seja O denominador tem apenas factores da forma . … Continuar a ler

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Exemplo literal de resolução de uma equação cúbica

Em Rearranging a formula, no MSE,  pglove pretende obter em função de , a partir da equação Tradução da minha resposta A sua equação é uma equação cúbica em que se pode resolver algebricamente pela fórmula cúbica de Cardano (veja, … Continuar a ler

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Equação cúbica com coeficientes reais dada uma das raízes

Nesta questão do MSE mcb pede basicamente como determinar as raízes da equação cúbica em que , sabendo que é uma das raízes. Tradução da minha resposta: Considere o polinómio cúbico em que os coeficientes e são números reais. Se … Continuar a ler

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Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy-Schwarz A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou Demonstração … Continuar a ler

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Exemplo de uma indeterminação do tipo infinito menos infinito ∞ – ∞

Nesta resposta a uma pergunta de Garmen1778 , no Mathematics Stack Exchange apresentei a seguinte resposta sobre como se pode, por vezes, calcular um limite de uma indeterminação do tipo , com e sem recurso à regra de l’Hôpital . É … Continuar a ler

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Soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros positivos

Em resposta a uma questão  de George Edison, no MSE, apresentei as seguintes duas demonstrações de Demonstração 1. (Dias Agudo, Cândido da Silva, Matemáticas Gerais III, Exercício 2.5.1). Seja . Considere-se e some-se para : O termo no primeiro membro … Continuar a ler

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