Arquivo da Categoria: Matemática Discreta

Determinação dos coeficientes de um polinómio como exercício sobre somatórios

Exercício:  determine os coeficientes da seguinte funcão polinomial, ordenando-a segundo as potências decrescentes de Resolução: escrevemos na forma de somatório, determinando, para esse efeito, o seu termo geral; desenvolvemos de seguida esse termo geral e aplicamos as propriedades dos somatórios. Finalmente, utilizamos … Continuar a ler

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Soma trigonométrica convertível em telescópica — senos dos múltiplos de um dado ângulo

Embora as somas telescópicas sejam facilmente calculáveis, muitas vezes a principal dificuldade está em converter uma soma que não é explicitamente telescópica em outra que o seja. É o caso de Um método de resolução é sugerido nesta questão, de … Continuar a ler

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Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy-Schwarz A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou Demonstração … Continuar a ler

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Relação de recorrência linear homogénea de 2.ª ordem com coeficientes constantes

Numa questão de optimus, no Mathematics Stack Exchange pede-se a determinação da solução de A tradução da minha resposta é esta: A recorrência/equação com diferenças homogénia de 2.ª ordem com coeficientes constantes tem duas soluções fundamentais e , em que … Continuar a ler

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Soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros positivos

Em resposta a uma questão  de George Edison, no MSE, apresentei as seguintes duas demonstrações de Demonstração 1. (Dias Agudo, Cândido da Silva, Matemáticas Gerais III, Exercício 2.5.1). Seja . Considere-se e some-se para : O termo no primeiro membro … Continuar a ler

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Resolução da relação de recorrência T(n) = 3T(n-2) + 9, T(1) = T(2) = 1

Mais uma vez publico aqui a tradução de uma resposta a uma questão no MSE. Desta vez trata-se da resolução da relação de recorrência pedida por Nir nesta questão. Apliquei a ideia fundamental indicada num comentário de Ross Millikan. Inicialmente enganei-me na … Continuar a ler

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Republicação da demonstração combinatória (ou combinatorial) da convolução de Vandermonde e de outra soma binomial

(Inicialmente publicada nesta entrada.) Proposição: É válida a seguinte identidade combinatória que é a chamada convolução de Vandermonde. Pondo , obtém-se e para finalmente, . Demonstração: Existe uma demonstração meramente combinatória da convolução de Vandermonde: Dado o conjunto , considerem-se … Continuar a ler

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Cálculo de um somatório de uma fracção racional do índice

Mais uma vez trago para aqui a minha resposta (tradução) a uma pergunta (autor Slowsolver) no Mathematics Stack Exchange, sobre o cálculo do seguinte somatório: em que Notas: é o enésimo  número harmónico. Na formatação utilizei os comandos \begin{aligned} e  \end{aligned} do  , como … Continuar a ler

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Problema do mês :: Problem of the month #7

pdmpom20101017 Mostre que :: Show that   Soluções: até 8 Novembro 2010, via acltavares@sapo.pt ou caixa de comentários. Solutions: until November 8, 2010, via acltavares@sapo.pt or comment box.

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Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

As relações de recorrência associadas a são: e em que, e , podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que . A fórmula explícita da sucessão , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por: pelo que e Vamos mostrar que verifica … Continuar a ler

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