Corrida em sentidos opostos ao longo de uma circunferência

Na questão Travelling round a circle, panav2000k, colocou, no MSE, um  problema, com o seguinte enunciado (tradução):

A e B partem do mesmo ponto e percorrem, em sentidos opostos, uma circunferência de 4324\text{ }\mathrm{m}. A só arranca quando B já percorreu 716\text{ }\mathrm{m}. Cruzam-se quando A já correu 1927\text{ }\mathrm{m}. Quem chegará primeiro à partida e a que distância estarão um do outro, nessa altura?

Tradução da minha resolução:

Seja t_{1} o tempo de que B necessita para percorrer 716 \textrm{m } a uma velocidade constante v_{B}. Então 716=v_{B}t_{1}. Se t_{2} for o instante em que A e B passam um pelo outro, então

\begin{cases}4324-1927=v_{B}t_{2} \\[2ex] 1927=v_{A}\left( t_{2}-\dfrac{716}{v_{B}}\right) \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}, \end{cases}

em que v_{A} é a velocidade constante de A. Simplificando obtemos

\begin{cases}t_{2}=\dfrac{2397}{v_{B}} \\[2ex] \dfrac{v_{A}}{v_{B}}=\dfrac{1927}{1681}=\dfrac{47}{41} \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}.\end{cases}

Se t_{A} e t_{B} forem os tempos adicionais de que, respectivamente, A e B necessitam para chegar ao ponto de partida, então

\begin{cases}1927=v_{B}t_{B} \\[2ex] 2397=v_{A}t_{A}=\dfrac{47}{41}v_{B}t_{A}, \end{cases}

o que implica que \dfrac{t_{A}}{t_{B}}=\dfrac{51}{47}>1. Assim, B chegará em primeiro lugar à partida. Quando B atinge esse ponto, A ainda necessita de percorrer

\begin{aligned}2397-v_{A}t_{B} &=2397-v_{A}\frac{1927}{v_{B}}=2397-\frac{47}{41}1927 \\&=2397-2209=188\text{ }\mathrm{m}.\end{aligned}

De SPM Notícias — Vídeos Khan Academy: Matemática para todos em português

Uma centena de vídeos com conteúdos matemáticos certificados pela SPM está disponível gratuitamente em http://fundacao.telecom.pt/. Os vídeos, desenvolvidos pela Khan Academy, estão a ser adaptados para português por iniciativa da Fundação Portugal Telecom, que, em parceria com a SPM, assegura a sua adequação ao currículo escolar nacional.

Até ao final do ano estarão disponíveis cerca de 400 vídeos que abordarão essencialmente matérias dos 2.º, 4.º, 6.º, 9.º e 12.º anos. Além do público português, o projeto pretende também chegar aos internautas dos Países Africanos de Língua Oficial Portuguesa e Timor-Leste através do Sapo Internacional.

Exemplo: Resolver equações de 2.º grau completando o quadrado – Khan Academy em Português, 9.º ano

Nostalgia a propósito de um exame de Matemática da década de 1960 — 5.º ano do liceu

O Expresso publica esta semana o artigo «Mudam-se os tempos, mudam-se os exames», ilustrado por uma cópia parcial da folha de rosto da prova escrita de Matemática do antigo 5.º ano do liceu, de 1962, quatro antes de eu ter feito o meu, que reproduzo

Fonte: Expresso, 19.06.2011

Diz o Expresso que «pediu a nove alunos do 9.º ano que fizessem [esta] prova». Apenas um dos alunos teria positiva.

« (…) todos disseram que aquela prova ‘obrigava a puxar mais pela cabeça’ e a ‘fazer mais contas’, que os exercícios eram ‘mais cansativos’ e ‘teóricos’.  »

Vejamos a alínea a) da primeira questão:

« Simplifique a expressão

E=5x^2y^6-[-(xy^3+3x^2)^2-x^4]-4x^3y^3

até obter um polinómio na forma reduzida. »

Como faríamos?

\begin{aligned}E &=5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(xy^{3}+3x^{2}\right) ^{2}-x^{4}\right]-4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}\right) -x^{4}\right] -4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}-\left(-x^{2}y^{6}-6x^{3}y^{3}-9x^{4}-x^{4}\right)-4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}+x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}+x^{4}-4x^{3}y^{3} \\&=6x^{2}y^{6}+2x^{3}y^{3}+10x^{4}\end{aligned}

ou

5x^{2}y^{6}-\left[ -\left( xy^{3}+3x^{2}\right)^{2}-x^{4}\right]-4x^{3}y^{3}

5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}\right) -x^{4}\right] -4x^{3}y^{3}

5x^{2}y^{6}-\left(-x^{2}y^{6}-6x^{3}y^{3}-9x^{4}-x^{4}\right) -4x^{3}y^{3}

5x^{2}y^{6}-\left( -x^{2}y^{6}-6x^{3}y^{3}-10x^{4}\right) -4x^{3}y^{3}

5x^{2}y^{6}+x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+10x^{4}-4x^{3}y^{3}

6x^{2}y^{6}+2x^{3}y^{3}+10x^{4}

A resposta seria

E=6x^{2}y^{6}+2x^{3}y^{3}+10x^{4}.

A diferença do número de páginas do enunciado é manifesta: duas, em 1962; quinze, em  2010, estas com formulário, tabela trigonométrica e espaço para as respostas. Na década de 1960 as questões eram formuladas de uma forma mais seca, enquanto que agora são mais  contextualizadas. Em 1960 a estatística e as probabilidades não faziam parte do programa; o tema de uma das questões de 1962 só é tratado no secundário.

[Edição de 22.06.2011: o exame do 9.º deste ano foi este.]

Na ausência do meu exame de 1966, aproveito para republicar dois testes (os chamados pontos) dessa altura, na Guarda.

10-11-1965

I

Torne irredutíveis as seguintes fracções:

a)

\dfrac{a^{-1}x-c^{-2}x+2a^{-1}y-2c^{-2}y}{c^{2}-a}

b)

\dfrac{65\cdot a^2\cdot x^{-3}\cdot y^{-4}}{13\cdot a^{-1}\cdot x^2\cdot y}

II

a) Efectue as seguintes operações e simplifique os resultados:

\left( \dfrac{x-1}{a-1}\right) ^{-2}\cdot \left( \dfrac{x-1}{x+1}\right) ^{2}\cdot \left( \dfrac{x+1}{a+1}\right) ^{2}

b) Calcule o valor numérico da expressão

\dfrac{a^{-2}+b^{-1}}{2a^{-1}\cdot b}

para a=-1 e b=2

III

Efectue as operações e simplifique os resultados:

a)

5\sqrt{x}-14\sqrt[4]{x^{2}}+8\sqrt[6]{64x^{3}}

b)

\dfrac{3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}:2}{\sqrt{8}\cdot 2\sqrt{2}}}{\sqrt[6]{8}-\sqrt{18}}

c)

\dfrac{\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}}}{\sqrt{a^{-1}\sqrt{a}}}

d) Substitua a expressão dseguinte por outra equivalente, mas com denominador racional.

\dfrac{x\sqrt{2}+2\sqrt{x}}{x\sqrt{2}-2\sqrt{x}}

* * *

16-3-1966

I

Efectue e simplifique a seguinte expressão:

\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}

II

Calcule, com denominador racional, o valor da expressão \dfrac{x^2+2}{x^2-2} para x=\sqrt{2}+1.

III

Resolva em ordem a x a equação:

x^2-ax+a\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot x

IV

O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.

V

ABC é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em O.

a) Quanto mede o arco \overset{\frown }{AB}? Porquê ?

b) Como classifica o triângulo CDA? Justifique a resposta.

c) Se for r=3 cm, quanto mede a corda AC? Porquê ?

d) Sendo como se disse na alínea anterior, r=3 cm, calcule a área do triângulo ABC

circulotriangulo

VI

Considere um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA,PB,PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

(Simples) aritmética ou álgebra?

Muitos problemas podem resolver-se por métodos aritméticos ou algébricos ou até gráficos. Eis um exemplo adaptado de uma questão do  Mathematics Stack Exchange.

Uma rapariga gastou \dfrac{1}{2} do dinheiro que  poupou em roupa. De seguida, \dfrac{1}{3} do que lhe sobrou em jogos, e finalmente \dfrac{1}{4} do restante em brinquedos, ficando para si com 90 euros. Quanto dinheiro tinha antes de fazer as compras?

Uma possível resolução é calcular quanto tinha antes de comprar cada uma das coisas. Primeiro,  antes da última compra (brinquedos), de seguida, antes da segunda (jogos) e finalmente, antes da primeira (roupa).

Outra, que apenas usa cálculos com fracções, é considerar que 1 representa a totalidade do dinheiro amealhado e dividir esta unidade de acordo com as fracções do dinheiro gasto em cada compra:

1=\overset{3/4}{\overbrace{\underset{2/3}{\underbrace{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}  \times\dfrac{1}{2}}}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{3}}}+\dfrac{1}{4}

A fracção \dfrac{1}{4} representa o dinheiro com que ficou para si, que sabemos ser  90 euros. Logo o dinheiro que  poupou é 4\times 90=360 euros.

Outra ainda será escrever a equação ou as equações correspondentes ao enunciado e resolvê-la(s).

Poderíamos até representar a totalidade do dinheiro que a rapariga tinha antes das compras por um círculo e dividi-lo em fatias correspondentes aos montantes dispendidos na roupa, jogos e brinquedos, sobrando um quarto de círculo, que representaria os 90 euros.

Penso que muitas vezes é até mais fácil resolver problemas deste tipo ou outros envolvendo apenas as 4 operações básicas por equações algébricas do que por um raciocínio meramente aritmético.

Qual o seu método preferido?

Uma propriedade das proporções (razão da soma e diferença dos termos)

Numa proporção \dfrac{p}{q}=\dfrac{r}{s} a soma dos antecedentes (p,r) está para a sua diferença, assim como a soma dos consequentes (q,s) está para a sua diferença.

Justificação: a proporção

\dfrac{p}{q}=\dfrac{r}{s}

é equivalente à equação

qr=ps

ou

2qr-2ps=0

Atendendo a que \left( p+r\right) \left( q-s\right) -\left( p-r\right) \left( q+s\right) =2qr-2ps, será

\left( p+r\right) \left( q-s\right) -\left( p-r\right) \left( q+s\right) =0

ou como enunciado

\dfrac{p+r}{p-r}=\dfrac{q+s}{q-s}

Exercício: aplique esta propriedade à lei dos senos dos ângulos de um triângulo.