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Versão portuguesa da entrada “Congruences and Divisibility– A Purdue University Problem“
Tradução do enunciado do Problema original [PROBLEM OF THE WEEK, Problem No. 12 (Spring 2009 Series)]:
« Para quantos inteiros positivos
é que
não é divisível por
?
Justifique a sua resposta sem utilizar o computador. »
“For how many positive integers
is
not divisible by
?
Justify your answer without the use of computers.”
Eis a tradução da minha resolução (aceite):
Se , então
. Esta propriedade aplicada a
dá em geral, para
o que significa que os restos da divisão de por
formam uma sucessão periódica de comprimento
com início em
Quanto a , dado que: a) se
e
, então
e b) se
, então
, temos em geral, para
o que quer dizer que os restos da divisão de por 7 formam uma sucessão periódica de comprimento 7 que começa em
Se e
, então
. Seja
Em consequência de (1) e (2) obtemos
Os restos da divisão de por
formam outra sucessão periódica de comprimento
que se inicia também em
. Apresentamos abaixo quatro exemplos da determinação destes restos.
Para os seguintes
termos não são divisíveis por
:
.
Assim para , há
termos que não são divisíveis por
.
Dos restantes 4 termos e
não são divisíveis por
, o que dá um total de
números
não divisíveis por
.
Quatro exemplos do cálculo dos restos:
()
()
()
()
- * * *
PROBLEM OF THE WEEK, Problem No. 12 (Spring 2009 Series):
“ Problem. For how many positive integers
is
not divisible by
?
Justify your answer without the use of computers. ”
Here is my solution (accepted).
If , then
. Applied to
this property gives in general for
which means that the remainders of the division of by
form a periodic sequence of length
starting at
As for since (a) if
and
, then
and (b) if
, then
, we have in general for
which means that the remainders of the division of by 7 form a periodic sequence of length 7 starting at
If and
, then
. Let
Therefore from (1) and (2) we have
The remainders of the division of by
form another periodic sequence of length
which starts also at
. Four examples of the evaluation of these remainders are presented below.
For the following
terms are not divisible by
:
.
Hence for , there are
terms that are not divisible by
.
From the remaining 4 terms and
are not divisible by
, which gives a total of
numbers
not divisible by
.
Four examples of the evaluation of the remainders:
()
()
()
()
Editado em 12-03-2019 para acrescentar a versão original inglesa
Quase um ano de intervalo, mas continua vivo este blog.
É bem verdade, António Ferrão!
Obrigado pela sua visita!