Integral definido envolvendo uma função trigonométrica inversa e um polinómio quártico

Publicado em 26 de Abril de 2017 por Américo Tavares

Na questão já antiga do MSE “Evaluating \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\arcsin{\sqrt{x}}}{x^4-2x^3+2x^2-x+1}\mathrm d\!x” pede-se ajuda para determinar o integral

I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\arcsin{\sqrt{x}}}{x^4-2x^3+2x^2-x+1}\mathrm d\!x

tendo o autor da questão mostrado que

2I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\arcsin{\sqrt{x}}+\arcsin{\sqrt{1-x}}}{x^4-2x^3+2x^2-x+1}dx.

Na minha resposta cheguei a

\begin{aligned}I&=\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{13}}\left( \sqrt{13}+13\right) \pi }{312}\ln \dfrac{1+\sqrt{-2+2\sqrt{13}}+\sqrt{13}}{1-\sqrt{-2+2\sqrt{13}}+\sqrt{ 13}}\\&\qquad-\dfrac{2\left( -2+2\sqrt{13}\right) \left( \sqrt{13}+13\right) \pi }{312 \sqrt{2+2\sqrt{13}}}\arctan \dfrac{12}{\sqrt{2+2\sqrt{13}}\left( -7+\sqrt{13} \right) }\\&\approx 0,90952\end{aligned}

A resposta completa traduzida para português encontra-se no seguinte PDF: msedefiniteintegral.

 

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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