Fórmula de Cardano e intuição

Relativamente às raízes do polinómio cúbico

f(x)=x^3+bx+c

Holdsworth88 colocou uma questão antiga, no MSE, Question Regarding Cardano’s Formula, em que pergunta se há uma explicação intuitiva para a separação da variável x na soma de u e v.

Tradução da minha resposta:

Cardano sabia que qualquer equação quadrática da forma

x^2+bx+c=0\qquad(1)

se pode escrever como

x^2-(u+v)x+uv=0\qquad(2)

em que uv são as raízes da equação. Visto que fazendo t=u+v na equação cúbica reduzida

t^3+pt+q=0\qquad(3)

se obtém

(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v)=0\qquad(4)

então qualquer raiz do sistema

u^3+v^3+q=0\qquad(5a)

3uv+p=0\qquad(5b)

é igualmente uma raiz de (4), e, com base na propriedade da equação quadrática indicada em (2), é agora fácil achar a fórmula de t que satisfaça a equação (3).

Necessitamos apenas de determinar dois números u^3v^3 cuja soma seja -q e o produto, -p^3/27, que sabemos de (1)-(2) são as raízes da equação quadrática

Y^2+qY-\dfrac{p^3}{27}=0.\qquad(6)

Por conseguinte,

t=u+v=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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