Foram atingidas hoje as 1 500 000 visualizações:
Aproveito para republicar a minha entrada mais vista de sempre, com um total de um pouco mais de 200 000 visualizações, a
Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)
A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é
com
O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição :
Dividindo por e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de
, obtemos — se escolhermos
— uma nova equação cúbica (em ) à qual falta o termo do 2.º grau:
cujos coeficientes são:
e
Se exprimirmos a variável na soma de duas outras
a equação transforma-se em
(Sobre outro método de resolução ver adenda que basicamente transcreve o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II)
Uma solução de é a dada pelo sistema em
e
Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números e
dos quais se sabe a soma
e o produto
. Como é bem sabido esses números são as duas soluções
e
da equação auxiliar do 2.º grau:
De facto
e
Resolvendo-a determinamos
Nesta notação o discriminante é igual a
.
Consideremos, sem perda de generalidade, e
. Introduzindo
e
em
, obtemos a solução
:
ou seja
e uma solução da equação inicial
Conhecida a solução , podemos determinar as duas restantes
e
decompondo o polinómio do primeiro membro de
num produto de factores lineares:
ou
Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:
Novamente temos de determinar dois números e
dos quais se conhece a soma (
) e o produto (
). Para esse fim formamos a equação do 2.º grau:
que resolvida dá as soluções
As três soluções da equação em são então:
No caso do discriminante ser negativo, , convertemos os complexos conjugados
e
à forma trigonométrica
Os módulos são iguais:
e os argumentos são simétricos, sendo o de :
As três raízes cúbicas de e
são (
)
Obtemos, respectivamente, para ,
e
as três soluções da equação
:
e as da equação original :
Exemplos
1. Determine as soluções da equação
Os coeficientes são:
Pondo
a equação transforma-se em
uma vez que os seus coeficientes são
e
As suas soluções são , a que correspondem as da equação na forma canónica
2. Resolva
Agora temos
Como era de esperar a substituição é
e os coeficientes da equação em
são simplesmente os da equação inicial divididos por :
e
O discriminante é negativo
Assim, como :
Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro é uma solução. Se recalcularmos as outras duas, obtemos as soluções exactas:
e
3. Resolva a equação
Os coeficientes são:
Fazendo a substituição
obtém-se a equação
em que
e
Uma solução da equação em é dada pela fórmula resolvente
a que corresponde a solução da equação em :
As restantes soluções da equação em são
e, portanto, as da equação em são
Adenda: a equação seguinte aparece nesta questão de Rajesh K Singh no MSE
As três soluções são
* * *
ADENDA (do meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II):
Além do método indicado acima para resolver a equação cúbica reduzida em
que consiste em exprimir a variável na forma
, tomei recentemente conhecimento, nesta resposta de user 170039, à questão Derivation of Cubic Formula de MathNoob, no Mathematics Stack Exchange, da substituição
, em que a constante
.
Através dela obtém-se a equação em
ou seja, para , a equação do 6.º grau seguinte — do 2.º grau em
O leitor poderá verificar que os dois métodos conduzem à mesma fórmula resolvente; por exemplo, escolhendo a solução , tem-se
—
Referência
Compêndio de Álgebra do 7.º ano do Liceu, 1963, de J. Sebastião e Silva e J. da Silva Paulo, págs. 217-218.
Parabéns por atingir esse número de visitas e tendo em conta o contéudo do blog o resultado só se torna mais digno de nota.
Que venha mais um milhão e meio de visitas.
Muito obrigado, ateixeira. O próximo passo é o dos dois milhões…