Exercício sobre séries de Fourier — uma função periódica constante por secções

Exercício:

Seja x(t) uma função periódica definida em toda a recta real, com período T=4 e cuja restrição no intervalo [-2,2[ se pode escrever da seguinte forma:

x(t)|_{[-2,2[}=\left\{\begin{array}{l}3,\qquad\text{se}\quad-2\leq t<-1,\\ 0,\qquad\text{se }\quad-1\leq t<1,\\ 1,\qquad\text{se}\qquad1\leq t<2.\end{array}\right.

Determine a série trigonométrica de Fourier de x(t).

Resolução:

Os coeficientes a_n, b_n  da série trigonométrica de Fourier de x(t)

\displaystyle{\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos \frac{n\pi t}{T/2}+b_{n}\sin \frac{n\pi t}{T/2}\right)}

são dados pelos seguintes integrais:

\begin{aligned}a_{0}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)dt\\[2ex]a_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\cos \frac{n\pi t}{T/2}dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)\cos \frac{n\pi t}{2}dt,\qquad n\geq 1 \\[2ex]b_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin \frac{n\pi t}{T/2}dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x(t)\sin \frac{n\pi t}{2}dt,\qquad n\geq 1.\end{aligned}

Devido à forma do gráfico de x(t) (ver gráfico a azul abaixo, para t\in[-2,2[) é natural decompor cada integral em três, \left(\int_{-2}^{2}\int_{-2}^{-1}+\int_{-1}^{1}+\int_{1}^{2}\right). Chega-se a

\begin{aligned}a_{0} &=2\\[2ex]a_{n} &=\frac{4}{n\pi }\left( \sin n\pi -\sin\frac{n\pi }{2}\right) =-\frac{4}{n\pi }\sin\frac{n\pi }{2}\\[2ex]  b_{n} &=\frac{2}{n\pi }\left( \cos n\pi -\cos\frac{n\pi }{2}\right) =\frac{  2}{n\pi }\left( \left( -1\right)^{n}-\cos\frac{n\pi }{2}\right) .\end{aligned}

Assim, o desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de x(t) será:

\displaystyle{x(t)\sim 1+\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{4}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{2}\cos \frac{n\pi t}{2}+\frac{2}{n\pi }\left( \left( -1\right) ^{n}-\cos \frac{n\pi }{2}\right) \sin \frac{n\pi t}{2}\right)}.

TFSofdiscontinuousfunction

Legenda: azul: x(t)\, \text{ em } -2\le t<2;

verde: soma parcial de quinta ordem da série trigonométrica de Fourier de  x(t) em -5\le t< 5.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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