Potências complexas

Na questão já antiga Understanding imaginary exponents do Mathematics Stack Exchange, friedo perguntou, entre outros, qual o significado de x^i, em que x é um número real.

Tradução da minha resposta:

A exponencial complexa e^z, com z=x+iy complexo, preserva a lei dos expoentes da exponencial real e verifica a igualdade e^0=1.

Por definição,

e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+\sin y)

o que está de acordo com a função exponencial real quando y=0.

O valor principal (principal value) do logarítmo de z=x+iy é o número complexo

w=\text{Log }z=\log |z|+i\arg z

tal que e^w=z, em que \arg z (o valor principal do argumento ou argumento principal de z) é o número real que verifica a condição -\pi<\text{arg }z\le\pi, com x=|z|\cos (\arg z) e y=|z|\sin (\arg z).

A potência complexa é

z^w=e^{w\text{ Log} z}.

No seu exemplo, z=x,w=i é, portanto, x^i=e^{i \text{ Log}x}.

Se x>0, então \text{Log }x=\log x. Se x<0, então \text{Log }x=\log|x|+i\pi.

Exemplos:

(-1)^i=e^{i\text{Log }(-1)}=e^{i(i\pi)}=e^{-\pi}.

2^i=e^{i\text{Log }(2)}=e^{i\log 2}=\cos (\log 2)+i\sin (\log 2).

(-2)^i=e^{i\text{Log }(-2)}=e^{i(\log 2+i\pi)}=e^{i\log 2}e^{-\pi}=(\cos (\log 2)+i\sin (\log 2))e^{-\pi}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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