Exercício simples sobre séries

Exercício: Se

A=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}

determinar

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}

Resolução: podemos decompor A nos termos de ordem par e ímpar e resolver a equação resultante em ordem à série dos termos ímpares:

\begin{aligned}A&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}=\displaystyle\sum_{n=1,3,5,\ldots }^{\infty }  \dfrac{1}{n^{4}}+\displaystyle\sum_{n=2,4,6,\ldots }^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{  (2n)^{4}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{  2^{4}n^{4}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}+\dfrac{1}{2^{4}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}\\&=\left( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}\right) +\dfrac{A}{2^{4}}\end{aligned}

Tem-se pois

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}=A-\dfrac{A}{2^{4}}=\dfrac{15}{16}A.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Cálculo, Exercícios Matemáticos, Matemática, Problemas, Séries com as etiquetas , , . ligação permanente.

Uma resposta a Exercício simples sobre séries

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s